Number Theory

Bài toán (CĐT Olympic 30-4 toán 11 năm 2013-2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh , Đồng Nai)

Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a+b,ab$ là các số nguyên dương và $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor$ là một số chính phương. Chứng minh rằng $a,b$ là các số nguyên dương.

Lời giải :

Áp dụng BĐT quen thuộc sau $\lfloor x+y\rfloor \ge \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor ,\forall x,y\in \mathbb{R}$, ta có :

$\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor$$\le \lfloor a^2+ab+b^2+ab\rfloor$$=\lfloor (a+b{)}^2\rfloor$$=(a+b{)}^2$

• Nếu $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor =(a+b{)}^2$ ta có :

$\lfloor a^2\rfloor +ab+\lfloor b^2\rfloor +ab$$=(a+b{)}^2$$\iff \lfloor a^2\rfloor +\lfloor b^2\rfloor$$=a^2+b^2$

Mặt khác ta có

$\lfloor a^2\rfloor$$\le a^2,\lfloor b^2\rfloor$$\le b^2$$\Rightarrow \lfloor a^2\rfloor +\lfloor b^2\rfloor$$\le a^2+b^2$

Do đó dấu bằng phải xảy ra, khi đó $a^2=\lfloor b^2\rfloor ,b^2=\lfloor b^2\rfloor \Rightarrow a^2,b^2\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Lại chú ý $b=\frac{b^2-a^2+(a+b{)}^2}{2(a+b)}\in \mathbb{Q}$, mà $b^2\in \mathbb{Z}$ nên $b\in \mathbb{Z}$. Tương tự $a\in \mathbb{Z}$. Kết hợp với $a+b,ab\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ta có $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$

• Nếu $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor <(a+b{)}^2$

Vì $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor$ chính phương nên :

$$\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor =(a+b-k{)}^2$$

Trong đó $k\in \mathbb{N},1\le k\le a+b$.

Điều này tương đương :

$\lfloor a^2\rfloor +\lfloor b^2\rfloor +2ab$$=a^2+b^2+k^2-2k(a+b)+2ab$$\iff \left\{a^2\right\}+\left\{b^2\right\}$$=2k(a+b)-k^2\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow \left\{a^2\right\}+\left\{b^2\right\}$$=2k(a+b)-k^2$$=1$$\Rightarrow 2(a+b)$$=k+\frac{1}{k}\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow a+b$$=k$$=1$

Kéo theo $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor =0$, mâu thuẫn vì $a,b$ dương.

Ta có điều phải chứng minh.