Number Theory 8

(Junior Balkan MO 1998)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^y=y^{x-y}$
                                                                Lời Giải
Ta có: $x^y=y^{x-y}\iff x=y^{\frac{x-y}{y}}\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow x-y⋮y\Rightarrow x⋮y$
Đặt $x=ty(t\in {\mathbb{Z}}^{+})$
Ta có: $ty=y^{\frac{ty-y}{y}}\iff t=y^{t-2}$ $(1)$
$(\ast )$ Nếu $y=1\Rightarrow x=1$.
$(\ast )$ Nếu $y\ge 2$
+, Xét $t=1\to (1)\iff 1=y^{-1}\iff y=1\Rightarrow x=1$ (không thỏa mãn)
+, Xét $t=2\to (1)\iff 2=y^0$ (vô lí)
+, Xét $t=3\to (1)\iff y=3\Rightarrow x=9$
+, Xét $t=4\to (1)\iff y^2=4\iff y=2\Rightarrow x=8$
+, Xét $t\ge 5$. Ta dùng quy nạp, cần phải chứng minh: $y^{t-2}>t$ $(2)$
• Xét $t=5$ thì ta có $Q.E.D$
• Xét $t>5$. Giả sử $y^{t-2}>t$, ta phải CM với $t+1$ thì điều phải chứng minh luôn đúng.
Thật vậy, ta có: $y^{t-1}\ge 2^{t-1}=2.2^{t-2}>2t>t+1$
Từ $(2)\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là $\boxed{(x,y)=(9;3);(1;1);(8;2)}$ $■$