Number Theory 7

(Tuyển sinh Chuyên Nguyễn Trãi 2003-2004)
Tìm các số hữu tỉ $a, b, c$ sao cho $a + \frac{1}{b}, b + \frac{1}{c}, c + \frac{1}{a}$ là các số nguyên dương.
Lời Giải
Đặt $a + \frac{1}{b} = x; b + \frac{1}{c} = y; c + \frac{1}{a} = z (a, b, c \neq = 0; x, y, z \in Z^{+})$
Ta có: $b = \frac{1}{x - a}; a = \frac{1}{z - c} \Rightarrow b = 1 \div (x - \frac{1}{z - c}) = \frac{z x - x c - 1}{z - c}$ $(1)$
và $b = y - \frac{1}{c} = \frac{y c - 1}{c}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \frac{x z - x c - 1}{z - c} = \frac{c}{y c - 1}$
$\Leftrightarrow c (z - c) = (y c - 1) (x z - x c - 1)$
$\Leftrightarrow cz - c^{2} = x y z c - x y c^{2} - y c - x z + x c + 1$
$\Leftrightarrow c^{2} (1 - x y) + c (x y z + x - y - z) - x z + 1 = 0$
$\Leftrightarrow c^{2} (x y - 1) - c (x y z + x - y - z) + x z - 1 = 0$ $(3)$
$(*)$ Xét $x y = 1 \Rightarrow x = y = 1$ (vì $x, y \in Z^{+}$ )
$(*)$ Xét $x y > 1$ . Coi phương trình $(3)$ bậc hai ẩn $c$
Ta có: $Δ = (x y z + x - y - z)^{2} - 4 (x y - 1) (x z - 1)$
$= (x y z - x - y - z + 2 x)^{2} - 4 (x^{2} y z - x y - x z + 1)$
$= (x y z - x - y - z)^{2} + 4 x (x y z - x - y - z) + 4 x^{2} - 4 x^{2} y z + 4 x y + 4 x z - 4$
$= (x y z - x - y - z)^{2} - 4$
Để phương trình $(3)$ có nghiệm $c$ hữu tỉ thì $Δ$ phải là số chính phương.
Ta có: $(x y z - x - y - z)^{2} - 4 = m^{2} (m \in Z)$
$\Leftrightarrow (x y z - x - y - z - m) (x y z - x - y - z + m) = 4$
Vì $x, y, z, m \in Z^{+} \Rightarrow x y z - x - y - z \pm m \in Z$
mà $4 = 2.2 = (- 2) (- 2) = 1.4 = (- 1) (- 4)$ nên ta có các trường hợp.
………………………………..
………………….
Kết luận: $(a, b, c) = (1; 1; 1); (\frac{3}{2}; 2; \frac{1}{3}); (3; \frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ thỏa mãn $■$

Number Theory 7

Đề bài

Mô tả