Number Theory 6

(Tuyển sinh Chuyên Thái Bình 2014-2015)

[Bài toán]: Cho $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$.
CMR: $a+b+c+d$ là hợp số.
                                                             Lời giải
Ta có: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$
$\iff a^2+2ab+b^2-ab=c^2+2cd+d^2-cd$
$\iff (a+b{)}^2-(c+d{)}^2=ab-cd$
$\iff (a+b+c+d)(a+b-c-d)=ab-cd$

Vì $a,b,c,d\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow a+b-c-d=\frac{ab-cd}{a+b+c+d}$
mà $a+b-c-d\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{ab-cd}{a+b+c+d}\in \mathbb{Z}$

Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố $\Rightarrow a+b+c+d|ab-cd$
Từ $gt\iff 3(ab-cd)=c^2+d^2-2cd-a^2-b^2+2ab$
$\iff 3(ab-cd)=(c-d{)}^2-(a-b{)}^2=(c-d-a+b)(c-d+a-b)$
Từ hai điều trên $\Rightarrow a+b+c+d|(c-d-a+b)(c-d+a-b)$

Vì $a+b+c+d$ là số nguyên tố nên ta có $2$ trường hợp sau:

+, Ta có:
$a+b+c+d|c-d+a-b\iff (a+b+c+d)|2(a+c)$
mà $2<a+b+c+d,a+c<a+b+c+d$ nên trường hợp này vô lí.

+, Ta có: $c-d-a+b⋮a+b+c+d$. Tương tự, ta có điều vô lí.

Kết luận: Vậy giả sử sai, ta có $a+b+c+d$ là hợp số $(Q.E.D)$ $■$.