Number Theory 5

(Tuyển sinh Chuyên Phổ thông Năng khiếu 2014-2015)
Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $latex \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ (1)
a. CMR: $a+b$ không thể là số nguyên tố.
b. CMR: Nếu $c>1$ thì $a+c,b+c$ không thể đồng thời là số nguyên tố.
                                                              Lời giải
a. Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}(1)\iff c(a+b)=ab(2)$
Giả sử $a+b$ là số nguyên tố.
Ta có: $(1)\to \frac{1}{a}<\frac{1}{c}\iff a>c;\frac{1}{b}<\frac{1}{c}\iff b>c$
$\Rightarrow a+b>c$ mà $a+b\in \mathbb{P}\Rightarrow \text{gcd}(a+b;c)=1$
Từ $(2)\Rightarrow \{\begin{array}{cc}c(a+b)⋮a& \\ c(a+b)⋮b& \end{array}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{cc}a⋮b& \\ b⋮a& \end{array}$
$\Rightarrow a=b\Rightarrow a+b=2a⋮2\Rightarrow a+b$ không là số nguyên tố.
Vậy giả sử sai, ta có $Q.E.D$

b. Ta có: $c(a+b)=ab\iff c^2+2ab=2c(a+b)+c^2$
$\iff a(b+c)+c(b+c)=2ab+c^2$
$\iff (a+c)(b+c)=2c(a+b)+c^2=c(2a+2b+c)$
$\Rightarrow (a+c)(b+c)⋮c$ $(3)$
Giả sử $a+c;b+c$ đồng thời là số nguyên tố $\Rightarrow \text{gcd}(a+c;b+c)=1$ $(4)$
Từ $(3),(4)$ $\Rightarrow \{\begin{array}{cc}a+c⋮c& \\ b+c⋮c& \end{array}$
mà $c>1\Rightarrow a+c$ hoặc $b+c$ là hợp số.
Vậy giả sử sai, ta có $Q.E.D$