Giải phương trình nghiệm nguyên: $a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}(ab+bc+ca)$ Lời giải Ta có: $a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}(ab+bc+ca)$ $\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=5(ab+bc+ca)$ $\Leftrightarrow 3a^2-5a(b+c)+(3b^2+3c^2-5bc)=0$ (1) Coi phương trình trên bậc hai ẩn $a$. Ta có: $\Delta_{a}=[5(b+c)]^2-4.3.(3b^2+3c^2-5bc)$ $=25b^2+50bc+25c^2-36b^2-36c^2+60bc=-11b^2-11c^2+110bc$ $=-11(b^2+c^2-10bc)=-11(b^2-10bc+25c^2-24c^2)=11[-(b-5c)^2+24c^2]$ Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta_{a}$ là số chính phương Đặt $latex \Delta_{a}=k^2(k\in \mathbb{N})$ Ta có: $11[24c^2-(b-5c)^2]=k^2\Rightarrow k^2\vdots 11$ $\Rightarrow k\vdots 11$. Đặt $k=11q(q\in \mathbb{N})$ Ta có: $24c^2-(b-5c)^2=11q^2\Leftrightarrow 24c^2=11q^2+(b-5c)^2$ (*) Nhận xét các số chính phương chia $11$ chỉ có dư là $0;1;3;4;5;9$ (1) $\Rightarrow (b-5c)^2\equiv 0;1;3;4;5;9\pmod {11}$ $\Rightarrow 24c^2\equiv 0;1;3;4;5;9\pmod {11}$ $\Rightarrow c^2\equiv 0;2;6;8;10;7\pmod {11}$ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow c^2\equiv 0\pmod {11}\Rightarrow c\vdots 11$ Xét phương trình (*), đặt $b-5c=x$ Ta có: $(*)\Leftrightarrow x^2+11k^2=24c^2$ Vì $c\vdots 11\Rightarrow c=11c_{1}(c_{1}\in \mathbb{Z})$ Từ $(*)\Rightarrow x^2\vdots 11\Rightarrow x\vdots 11\rightarrow x=11x_{1}(x_{1}\in \mathbb{Z})$ Ta có: $(*)\Leftrightarrow 121x_{1}^2+11k^2=24.11^2.c_{1}^2$ $\Leftrightarrow 11x_{1}^2+k^2=24.11c^2_{1}$ $\Rightarrow k^2\vdots 11 \Rightarrow k\vdots 11\rightarrow k=11k^2_{1}$ Ta có: $(*)\Leftrightarrow x^2_{1}+11k_{1}^2=24c^2_{1}$ Quá trình cứ lặp đi lặp lại như vậy, theo nguyên lí lùi vô hạn, ta có bộ nghiệm tầm thường $(x,k,c)=(x_1,k_1,c_1) =...=(0;0;0)$ $\Rightarrow (a,b,c)=(0;0;0)$ Vậy phương trình có nghiệm nguyên là $(a,b,c)=(0;0;0)$

Number Theory 4

Giải phương trình nghiệm nguyên: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{5}{3} (ab + b c + c a)$
Lời giải
Ta có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{5}{3} (ab + b c + c a)$
$\Leftrightarrow 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 5 (ab + b c + c a)$
$\Leftrightarrow 3 a^{2} - 5 a (b + c) + (3 b^{2} + 3 c^{2} - 5 b c) = 0$ (1)
Coi phương trình trên bậc hai ẩn $a$ .
Ta có: $Δ_{a} = [5 (b + c)]^{2} - 4.3. (3 b^{2} + 3 c^{2} - 5 b c)$
$= 25 b^{2} + 50 b c + 25 c^{2} - 36 b^{2} - 36 c^{2} + 60 b c = - 11 b^{2} - 11 c^{2} + 110 b c$
$= - 11 (b^{2} + c^{2} - 10 b c) = - 11 (b^{2} - 10 b c + 25 c^{2} - 24 c^{2}) = 11 [- (b - 5 c)^{2} + 24 c^{2}]$
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $Δ_{a}$ là số chính phương
Đặt $latex \Delta_{a}=k^2(k\in \mathbb{N})$
Ta có: $11 [24 c^{2} - (b - 5 c)^{2}] = k^{2} \Rightarrow k^{2} ⋮ 11$
$\Rightarrow k ⋮ 11$ . Đặt $k = 11 q (q \in N)$
Ta có: $24 c^{2} - (b - 5 c)^{2} = 11 q^{2} \Leftrightarrow 24 c^{2} = 11 q^{2} + (b - 5 c)^{2}$ (*)
Nhận xét các số chính phương chia $11$ chỉ có dư là $0; 1; 3; 4; 5; 9$ (1)
$\Rightarrow (b - 5 c)^{2} \equiv 0; 1; 3; 4; 5; 9 (mod 11)$
$\Rightarrow 24 c^{2} \equiv 0; 1; 3; 4; 5; 9 (mod 11)$
$\Rightarrow c^{2} \equiv 0; 2; 6; 8; 10; 7 (mod 11)$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow c^{2} \equiv 0 (mod 11) \Rightarrow c ⋮ 11$
Xét phương trình (*), đặt $b - 5 c = x$
Ta có: $(*) \Leftrightarrow x^{2} + 11 k^{2} = 24 c^{2}$
Vì $c ⋮ 11 \Rightarrow c = 11 c_{1} (c_{1} \in Z)$
Từ $(*) \Rightarrow x^{2} ⋮ 11 \Rightarrow x ⋮ 11 \to x = 11 x_{1} (x_{1} \in Z)$
Ta có: $(*) \Leftrightarrow 121 x_{1}^{2} + 11 k^{2} = 24.1 1^{2} . c_{1}^{2}$
$\Leftrightarrow 11 x_{1}^{2} + k^{2} = 24.11 c_{1}^{2}$
$\Rightarrow k^{2} ⋮ 11 \Rightarrow k ⋮ 11 \to k = 11 k_{1}^{2}$
Ta có: $(*) \Leftrightarrow x_{1}^{2} + 11 k_{1}^{2} = 24 c_{1}^{2}$
Quá trình cứ lặp đi lặp lại như vậy, theo nguyên lí lùi vô hạn, ta có bộ nghiệm tầm thường
$(x, k, c) = (x_{1}, k_{1}, c_{1}) = ... = (0; 0; 0)$
$\Rightarrow (a, b, c) = (0; 0; 0)$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là $(a, b, c) = (0; 0; 0)$

Number Theory 4

Đề bài

Mô tả