Number Theory 30

[Bài toán]: CMR: Với mỗi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ đều chọn được $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ để $2^n|19^k-97$
                                                 Lời Giải
$▶$ Bổ đề: Với $n\in \mathbb{N},n\ge 3$. Khi đó $19^{2^{h-2}}-1=2^{h}t$ với $t$ lẻ
Ta CM bằng quy nạp.
Với $h=3$ dễ thấy thỏa mãn
Giả sử ta có dpcm với $h=k$. Do đó có giả thiết quy nạp $19^{2^{k-2}}-1=2^{k}t$
Ta CM với $h=k+1$ có $19^{2^{k-1}}-1=2^{k+1}l$ với $l$ lẻ
Thật vậy $19^{2^{k-1}}-1=(19^{2^{k-2}}-1)(19^{2^{k-2}}+1)$.
Mặt khác, $\gcd (19^{2^{k-2}}-1;19^{2^{k-2}}+1=2$. Kết hợp giả thiết quy nạp $\Rightarrow 19^{2^{k-2}}+1=2s$ với $s$ lẻ
Do đó $19^{2^{k-1}}-1=2^{k+1}st=2^{k+1}l$ với $l$ lẻ. Vậy bổ đề được CM.

$▶$ Áp dụng: Lại sử dụng quy nạp. Giả sử $\forall k=k_n$ đúng. Giả thiết: $19^{k_n}-97=2^{n}h,h$ lẻ
Ta CM với $k_{n+1}=k_n+2^{n-2}$, có $19^{k_{n+1}}-97=2^{n+1}m,m$ lẻ.
Với $h$ chẵn, thỏa mãn
Với $h$ lẻ. Ta có: $19^{k_n+1}-97=19^{2^{n-2}}(19^{k_n}-97)+97(19^{2^{n-2}}-1)=2^n(19^{2^{n-2}}h+97g)=2^{n+1}m$

Kết luận: Vậy có $Q.E.D$ $■$