Number Theory 3

(Hoàng Đức Hưng)
Tìm các số hữu tỉ $x,y$ sao cho $x+y,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên dương.
                                                Lời Giải

Đặt x+y=a;\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=b với a,b\in \mathbb{Z^+}}. ĐK $x,y\ne 0$
Ta có: $x=a-y$ và $x=\frac{y}{by-1}$
$\Rightarrow a-y=\frac{y}{by-1}\iff (a-y)(by-1)=y$
$\iff aby-a-b{y}^2+y=y\iff b{y}^2-aby+a=0$ (1)
Coi phương trình (1) bậc 2 ẩn y.
Ta có: $\Delta =(ab{)}^2-4ab$
Để phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì $(ab{)}^2-ab$ phải là số chính phương.
Đặt $(ab{)}^2-4ab=k^2$ ($k\in \mathbb{N}$)
Ta có: $(ab-2{)}^2-4=k^2\iff (ab-2-k)(ab-2+k)=4$
Vì $a,b$ nguyên dương, $k$ là số tự nhiên nên $ab-2-k;ab-2+k$ nguyên.
Xét các trường hợp ta, ta có $ab\in \left\{4;0\right\}$ thỏa mãn.
+, Với $ab=4\Rightarrow (a,b)\in \left\{(1;4);(2;2)\right\}$
Xét các trường hợp, ta được $(x,y)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2});(1;1);(2;2)$
+, Xét $ab=0$ không thỏa mãn.
Vậy $(x,y)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2});(1;1);(2;2)$ thỏa mãn.