[Bài toán]: Cho $a,b>1;n$ nguyên dương, $b$ lẻ thỏa mãn $b^n|a^n-1$. CMR: $\displaystyle{a^b>\frac{3^n}{n}}$. Lời Giải Đặt $p=\pi(b),\text{ord}_pa=d$ với $d\in \mathbb{Z^+}$ Ta có: $a^d\equiv 1\pmod p\Rightarrow d|p-1$ mà $a^n\equiv 1\pmod p\Rightarrow d|n$ Mặt khác: $p=\pi(b)\Rightarrow \gcd(p-1,n)=1$ Do đó: $d=1$. Mặt khác, ta có $b\geq \prod p>\prod d=S\Rightarrow a^b>a^S>a^S-1\qquad (1)$ Lại có: $a-1|a^S-1\Rightarrow a^S-1\geq a-1\qquad (2)$ Ta có: $\prod p^n\leq a^n-1\Rightarrow n\leq v_p(a^n-1)$ Theo bổ đề $LTE: v_p(a^n-1)=v_p(a-1)+v_p(n)$. Do đó: $n\leq v_p(a-1)+v_p(n)\Leftrightarrow v_p(a-1)\geq n-v_p(n)\Leftrightarrow a-1\geq \prod p^n\prod p^{-v_p(n)}$ $(3)$ Mà $n\geq p^{v_p(n)}\Rightarrow n\prod p^n\prod p^{-v_p(n)}\geq p^n\geq 3^n\Leftrightarrow \prod p^n\prod p^{-v_p(n)}\geq \displaystyle{\frac{3^n}{n}}$ $(4)$ Kết luận: Từ $(1),(2),(3),(4)\Rightarrow Q.E.D$ $\blacksquare$

Number Theory 28

[Bài toán]: Cho $a, b > 1; n$ nguyên dương, $b$ lẻ thỏa mãn $b^{n} ∣ a^{n} - 1$ . CMR: $a^{b} > \frac{3 ^{n}}{n}$ .
Lời Giải
Đặt $p = π (b), ord_{p} a = d$ với $d \in Z^{+}$
Ta có: $a^{d} \equiv 1 (mod p) \Rightarrow d ∣ p - 1$ mà $a^{n} \equiv 1 (mod p) \Rightarrow d ∣ n$
Mặt khác: $p = π (b) \Rightarrow g cd (p - 1, n) = 1$ Do đó: $d = 1$ .
Mặt khác, ta có $b \geq \prod p > \prod d = S \Rightarrow a^{b} > a^{S} > a^{S} - 1 (1)$
Lại có: $a - 1∣ a^{S} - 1 \Rightarrow a^{S} - 1 \geq a - 1 (2)$
Ta có: $\prod p^{n} \leq a^{n} - 1 \Rightarrow n \leq v_{p} (a^{n} - 1)$
Theo bổ đề $L T E : v_{p} (a^{n} - 1) = v_{p} (a - 1) + v_{p} (n)$ .
Do đó: $n \leq v_{p} (a - 1) + v_{p} (n) \Leftrightarrow v_{p} (a - 1) \geq n - v_{p} (n) \Leftrightarrow a - 1 \geq \prod p^{n} \prod p^{- v_{p} (n)}$ $(3)$
Mà $n \geq p^{v_{p} (n)} \Rightarrow n \prod p^{n} \prod p^{- v_{p} (n)} \geq p^{n} \geq 3^{n} \Leftrightarrow \prod p^{n} \prod p^{- v_{p} (n)} \geq \frac{3 ^{n}}{n}$ $(4)$
Kết luận: Từ $(1), (2), (3), (4) \Rightarrow Q . E . D$ $■$

Number Theory 28

Đề bài

Mô tả