Number Theory 27

(Middle European MO 2012)
[Bài toán]:Tìm $x,y,z\in {\mathbb{Z}}^{+}$ thỏa mãn: $\{\begin{array}{l}{x}^y+y^x=z^y(1)\\ x^y+2012=y^{z+1}(2)\end{array}$
                                                              Lời giải
Từ $(2)\Rightarrow x,y$ cùng dấu $\Rightarrow z$ chẵn. Đặt $z=2c$ với $c$ nguyên dương

$▶$ Xét $x,y$ cùng chẵn, đặt $x=2a,y=2b$ với $a,b$ nguyên dương
Ta có: $(2)\iff (2a{)}^y+2^2.503=(2b{)}^{z+1}\iff 2^{2b-2}{a}^y+503=2^{2c-1}{b}^{2c-1}$
$\Rightarrow 2^{2b-2}.a^y$ lẻ $\Rightarrow a$ lẻ, $2^{2b-2}=1\iff b=1\Rightarrow y=2$
Thay vào $(1)$, ta có: $x^2+2^x=z^2\iff 2^x=(z-x)(z+x)\Rightarrow \{\begin{array}{l}z-x=2^m\\ z+x=2^n\end{array}$ với $m<n,m+n=x$ nguyên dương
• Với $m\ge 2$. Ta có: $2x=2^n-2^m\iff a=2^{m-2}(2^{n-m}-1)$ mà $a$ lẻ
$\Rightarrow m=2\iff z-x=4\iff z=4+x\Rightarrow 2^x=8x+16$
Ta thấy với $x\in \{1;...;5\}$ không thỏa mãn, $x\ge 7\to 2^x>8x+16$ (theo quy nạp) $\Rightarrow x=6\to z=10$. Thử lại thỏa mãn.
• Với $m=1\Rightarrow z-x=2\iff z=2+x\Rightarrow 2^x=4x+4$
Với $x=1$ không thỏa mãn, $x\ge 2\Rightarrow x+1=2^{x-2}\Rightarrow x=2$ (không thỏa mãn)

$▶$ Xét $x,y$ cùng lẻ. Trừ $(1)-(2)$, ta có: $y^x+y^{z+1}=z^y+2012(3)$
• Với $y=1\Rightarrow x=-2011$ (vô lí)
• Với $y\ge 3$. Từ $(1)\Rightarrow x^y<z^y\Rightarrow x\le z+1$
Ta có: $(3)\Rightarrow y^x(1+y^{z+1-x})\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ mà $y$ lẻ $\Rightarrow 4\nmid y^x,z+1-x$ chẵn, $y$ lẻ
$\Rightarrow 1+y^{z+1-x}\equiv 2(\mathrm{mod}4)\Rightarrow VT\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ (mâu thuẫn!)
Kết luận: Vậy $\boxed{(x,y,z)=(6;2;10)}$ thỏa mãn ycđb $■$