[Bài toán]: Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $a^2+b^2\mid ac+bd$. CMR: $\gcd(a^2+b^2,c^2+d^2)>1$ Lời giảiTa có: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$mà $a^2+b^2\mid ac+bd\Rightarrow a^2+b^2\mid (ad-bc)^2$Giả sử $\gcd(a^2+b^2,c^2+d^2)=1\qquad (*)$$\blacktriangleright$ Xét $a^2+b^2$ không là số chính phương $\Rightarrow \exists p$ có số mũ lớn nhất là số lẻ, với $p$ là ước nguyên tố của $a^2+b^2$, gọi số mũ đó là $2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$Ta có: $p^{2k+1}\mid a^2+b^2\Rightarrow p^{2k+1}\mid (ad-bc)^2\Rightarrow p^{2k+2}\mid (ad-bc)^2$ mà $p^{2k+1}\mid ac+bd\Rightarrow p^{2k+2}\mid p^{4k+2}\mid (ac+bd)^2$$\Longrightarrow p^{2k+2}\mid (ad-bc)^2+(ac+bd)^2\Rightarrow p^{2k+2}\mid (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ mà từ $(*)\Rightarrow \gcd(p^{2k+2},c^2+d^2)=1\Rightarrow p^{2k+2}\mid a^2+b^2\rightarrow \text{False}$$\blacktriangleright$ Xét $a^2+b^2$ là số chính phương. Đặt $a^2+b^2=t^2$ với $t\in \mathbb{Z^+}$Ta có: $t^2\mid (ad-bc)^2\Rightarrow t\mid ad-bc\Rightarrow ad-bc=ty$ với $y\in \mathbb{Z}$Lại có: $t^2\mid ac+bd\Rightarrow ac+bd=t^2x$ với $x\in \mathbb{Z^+}$$\Longrightarrow \begin{cases}a^2d^2-b^2c^2=ty(ad+bc)\\a^2c^2-b^2d^2=t^2x(ac-bd)\end{cases}$ $\Rightarrow (a^2-b^2)(c^2+d^2)=t[y(ad+bc)+x(ac-bd)]\Rightarrow t\mid (a^2-b^2)(c^2+d^2)$ mà $(*)\Rightarrow \gcd(t,c^2+d^2)=1\Rightarrow t\mid a^2-b^2$ $\Rightarrow \left | a^2-b^2 \right |\geq t$+, Nếu $a^2-b^2\geq t, b^2-a^2\geq t\rightarrow \text{False}$+, Nếu $a^2=b^2\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a^2=t^2\rightarrow \text{False}$Kết luận: Vậy giả sử sai, ta có $Q.E.D$ $\blacksquare$

Number Theory 25

[Bài toán]: Cho $a, b, c, d \in Z^{+}$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} ∣ a c + b d$ . CMR: $g cd (a^{2} + b^{2}, c^{2} + d^{2}) > 1$
Lời giải
Ta có: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}$
mà $a^{2} + b^{2} ∣ a c + b d \Rightarrow a^{2} + b^{2} ∣ (a d - b c)^{2}$
Giả sử $g cd (a^{2} + b^{2}, c^{2} + d^{2}) = 1 (*)$
$▶$ Xét $a^{2} + b^{2}$ không là số chính phương $\Rightarrow \exists p$ có số mũ lớn nhất là số lẻ, với $p$ là ước nguyên tố của $a^{2} + b^{2}$ , gọi số mũ đó là $2 k + 1$ với $k \in N$
Ta có: $p^{2 k + 1} ∣ a^{2} + b^{2} \Rightarrow p^{2 k + 1} ∣ (a d - b c)^{2} \Rightarrow p^{2 k + 2} ∣ (a d - b c)^{2}$ mà $p^{2 k + 1} ∣ a c + b d \Rightarrow p^{2 k + 2} ∣ p^{4 k + 2} ∣ (a c + b d)^{2}$
$⟹ p^{2 k + 2} ∣ (a d - b c)^{2} + (a c + b d)^{2} \Rightarrow p^{2 k + 2} ∣ (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ mà từ $(*) \Rightarrow g cd (p^{2 k + 2}, c^{2} + d^{2}) = 1 \Rightarrow p^{2 k + 2} ∣ a^{2} + b^{2} \to False$
$▶$ Xét $a^{2} + b^{2}$ là số chính phương. Đặt $a^{2} + b^{2} = t^{2}$ với $t \in Z^{+}$
Ta có: $t^{2} ∣ (a d - b c)^{2} \Rightarrow t ∣ a d - b c \Rightarrow a d - b c = t y$ với $y \in Z$
Lại có: $t^{2} ∣ a c + b d \Rightarrow a c + b d = t^{2} x$ với $x \in Z^{+}$
$⟹ {a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2} = t y (a d + b c) a^{2} c^{2} - b^{2} d^{2} = t^{2} x (a c - b d)$ $\Rightarrow (a^{2} - b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = t [y (a d + b c) + x (a c - b d)] \Rightarrow t ∣ (a^{2} - b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ mà $(*) \Rightarrow g cd (t, c^{2} + d^{2}) = 1 \Rightarrow t ∣ a^{2} - b^{2}$ $\Rightarrow a^{2} - b^{2} \geq t$
+, Nếu $a^{2} - b^{2} \geq t, b^{2} - a^{2} \geq t \to False$
+, Nếu $a^{2} = b^{2} \Rightarrow a = b \Rightarrow 2 a^{2} = t^{2} \to False$
Kết luận: Vậy giả sử sai, ta có $Q . E . D$ $■$

Number Theory 25

Đề bài

Mô tả