(IMO 2008 Shortlist) [Bài toán]: Cho $p\in \mathbb{P}, n\in \mathbb{Z^+},a,b,c\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+pb=b^n+pc=c^n+pa$. CMR: $a=b=c$ Lời Giải Giả sử $a,b,c$ đôi một khác nhau. Ta có: $a^n+pb=b^n+pc=c^n+pa\Leftrightarrow \begin{cases}a^n-b^n=p(c-b)\\b^n-c^n=p(a-c)\\c^n-a^n=p(b-c)\end{cases}$ $\Rightarrow -p^3=\displaystyle{\frac{a^n-b^n}{a-b}.\frac{b^n-c^n}{b-c}.\frac{c^n-a^n}{c-a}}\qquad (1)$ Xét $n$ lẻ $\Rightarrow a^n-b^n,a-b$ cùng dấu $\Rightarrow VP_{(1)}>0$ mà $VT_{(1)}<0$ (vô lí) Xét $n$ chẵn: $\blacktriangleright$ Xét $p$ lẻ, $p\geq 3$. Ta có: $-p^3=\prod (a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$ Ta thấy $a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}$ $(2)$ lẻ mà số các số trong tổng $(2)$ chẵn do $n$ chẵn $\Rightarrow a,b$ khác dấu $\Rightarrow a-b\equiv 1\pmod 2$ Tương tự $\Rightarrow 3\equiv (a-b)+(b-c)+(c-a)\equiv 0\pmod 2$ (vô lí) $\blacktriangleright$ Xét $p$ chẵn $\Rightarrow p=2$. Đặt $n=2k$ với $k\in \mathbb{Z^+},n\geq 2$. $(*)$ Nếu trong ba số có một số bằng $0$. Giả sử $a=0$. Ta có: $\begin{cases}b^n+2c=c^n\\2b=c^n\end{cases}\Rightarrow c^{n^2}+2^{n+1}c=2^nc^n\Leftrightarrow (c^{n-1})^{n+1}-4+4=2^n(c^{n-1}-2)$ $\Leftrightarrow (c^{n-1}-2)A+4=2^n(c^{n-1}-2)\Leftrightarrow (c^{n-1}-2)(2^n-A)=4$ (dễ dàng thấy vô lí) $(*)$ Nếu cả ba số đều khác $0\Rightarrow \left | a \right |,\left | b \right |,\left | c \right |\geq 1$ +, Với $k\geq 2$. Ta có: $\displaystyle{8=\left | \prod \frac{a^n-b^n}{a-b} \right |=\left | \prod (a+b)\frac{a^{2k}-b^{2k}}{a^2-b^2} \right |}$ $=\left | (a+b)(b+c)(c+a) \right |\left | \prod (a^{2k-2}+...+b^{2k-2}) \right |\geq 8\left | (a+b)(b+c)(c+a) \right |$ $\Leftrightarrow \left | (a+b)(b+c)(c+a) \right |\leq 1\rightarrow \text{False}$ +, Với $k=1\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=-8$. Từ giả thiết, dễ dàng thấy $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow \left | a+b \right |=\left | b+c \right |=\left | c+a \right |=2\Rightarrow a=b=c$. Vậy ta có $Q.E.D$ $\blacksquare$

Number Theory 24

(IMO 2008 Shortlist)
[Bài toán]: Cho $p \in P, n \in Z^{+}, a, b, c \in Z$ thỏa mãn $a^{n} + p b = b^{n} + p c = c^{n} + p a$ .
CMR: $a = b = c$
Lời Giải
Giả sử $a, b, c$ đôi một khác nhau.
Ta có: $a^{n} + p b = b^{n} + p c = c^{n} + p a \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a^{n} - b^{n} = p (c - b) b^{n} - c^{n} = p (a - c) c^{n} - a^{n} = p (b - c)$
$\Rightarrow - p^{3} = \frac{a ^{n} - b ^{n}}{a - b} . \frac{b ^{n} - c ^{n}}{b - c} . \frac{c ^{n} - a ^{n}}{c - a} (1)$
Xét $n$ lẻ $\Rightarrow a^{n} - b^{n}, a - b$ cùng dấu $\Rightarrow V P_{(1)} > 0$ mà $V T_{(1)} < 0$ (vô lí)
Xét $n$ chẵn:
$▶$ Xét $p$ lẻ, $p \geq 3$ . Ta có: $- p^{3} = \prod (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$
Ta thấy $a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}$ $(2)$ lẻ mà số các số trong tổng $(2)$ chẵn do $n$ chẵn $\Rightarrow a, b$ khác dấu $\Rightarrow a - b \equiv 1 (mod 2)$
Tương tự $\Rightarrow 3 \equiv (a - b) + (b - c) + (c - a) \equiv 0 (mod 2)$ (vô lí)
$▶$ Xét $p$ chẵn $\Rightarrow p = 2$ . Đặt $n = 2 k$ với $k \in Z^{+}, n \geq 2$ .
$(*)$ Nếu trong ba số có một số bằng $0$ . Giả sử $a = 0$ .
Ta có: ${b^{n} + 2 c = c^{n} 2 b = c^{n} \Rightarrow c^{n^{2}} + 2^{n + 1} c = 2^{n} c^{n} \Leftrightarrow (c^{n - 1})^{n + 1} - 4 + 4 = 2^{n} (c^{n - 1} - 2)$
$\Leftrightarrow (c^{n - 1} - 2) A + 4 = 2^{n} (c^{n - 1} - 2) \Leftrightarrow (c^{n - 1} - 2) (2^{n} - A) = 4$ (dễ dàng thấy vô lí)
$(*)$ Nếu cả ba số đều khác $0 \Rightarrow ∣ a ∣, ∣ b ∣, ∣ c ∣ \geq 1$
+, Với $k \geq 2$ . Ta có: $8 = \prod \frac{a ^{n} - b ^{n}}{a - b} = \prod (a + b) \frac{a ^{2 k} - b ^{2 k}}{a ^{2} - b ^{2}}$
$= ∣ (a + b) (b + c) (c + a) ∣ \prod (a^{2 k - 2} + ... + b^{2 k - 2}) \geq 8 ∣ (a + b) (b + c) (c + a) ∣$
$\Leftrightarrow ∣ (a + b) (b + c) (c + a) ∣ \leq 1 \to False$
+, Với $k = 1 \Rightarrow (a + b) (b + c) (c + a) = - 8$ . Từ giả thiết, dễ dàng thấy $a, b, c$ cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow ∣ a + b ∣ = ∣ b + c ∣ = ∣ c + a ∣ = 2 \Rightarrow a = b = c$ .
Vậy ta có $Q . E . D$ $■$

Number Theory 24

Đề bài

Mô tả