Number Theory 23

(VMO 2004) 
[Bài toán]: Tìm $x,y,z\in {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho $(x+y)(1+xy)=2^z(1)$
                                                                Lời Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử $y\ge x$.
Từ $(1)\Rightarrow (I)\{\begin{array}{l}x+y=2^m\\ 1+xy=2^{z-m}\end{array}$ với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$
Ta thấy $x+y-1-xy=(x-1)(1-y)\le 0$ vì $x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow 2^m\le 2^{z-m}\iff z\ge 2m$
$▶$ Xét $x=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=2^m-1\\ y+1=2^{z-m}\end{array}\Rightarrow 2^m=2^{z-m}\iff z=2m$
Do đó, phương trình có nghiệm $(x,y,z)=(1;2^m-1;2m)$ với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$
$▶$ Xét $x\ge 2$. Từ $(I)\Rightarrow x,y$ lẻ $\Rightarrow x,y\ge 3$
Xét biểu thức: $y(x-1)(x+1)=y{x}^2-y=y{x}^2+x-x-y=x(xy+1)-(x+y)$
$=2^{z-m}x-2^m=2^m(2^{z-m}x-1)$
$\Rightarrow 2^m\mid y(x-1)(x+1)$ mà $\gcd (y,2^m)=1\Rightarrow 2^m\mid (x+1)(x-1)$
$\Rightarrow \exists x+1,x-1:2^{m-1}\mid x+1,2^{m-1}\mid x-1$
Nếu $2^{m-1}\mid x-1\Rightarrow 2^{m-1}+1\le x;x+y=2^m(3)$
$\iff y=2^m-x\le 2^m-2^{m-1}-1=2^{m-1}-1(2)$
Từ $(2),(3)\Rightarrow y<x$ (trái với giả thiết)
$\Rightarrow 2^{m-1}\mid x+1\Rightarrow x\ge 2^{m-1}-1;x+y=2^m(4)$
$\iff y=2^m-x\le 2^m-2^{m-1}+1=2^{m-1}+1(5)$
Từ $(4),(5)\Rightarrow 2^{m-1}-1\le x\le y\le 2^{m-1}+1$
mà $x,y$ lẻ; $x\ne y$ vì $x=y\Rightarrow x+y\ne 2^m$ (dễ CM)
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2^{m-1}-1\\ y=2^{m-1}+1\end{array}\Rightarrow 1+(2^{m-1}-1)(2^{m-1}+1)=2^{z-m}$
$\iff 2^{2m-2}=2^{z-m}\iff 2m-2=z-m\iff z=3m-2$
mà $x\ge 3\Rightarrow 2^{m-1}-1\ge 3\iff 2^{m-1}\ge 2^2\iff m\ge 3$
Kết luận: Phương trình có nghiệm nguyên dương là:
$(x,y,z)\in \{(1;2^{m-1};2m);(2^{m-1};1;2m)\}$ với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$
$(x,y,z)\in \{(2^{m-1}-1;2^{m+1}+1;3m-2);(2^{m+1}+1;2^{m-1}-1;3m-2)\}$ với $m\ge 3,m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ $■$