Number Theory 22

(USA Team Selected Test 2003)
[Bài toán]: Tìm bộ ba số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn điều kiện: $p\mid q^r+1,q\mid r^p+1,r\mid p^q+1$
                                                                     Lời Giải
$▶$ Bổ đề: Cho $a,b,c\in \mathbb{P},c$ lẻ sao cho $c\mid a^b+1$ thì $2b\mid c-1;c\mid a^2-1$
$\to$ CM: Đặt $d={\text{ord}}_c(a)(d\in {\mathbb{Z}}^{+})$
Ta có: $c\mid a^b+1;c>2\Rightarrow a^b\equiv -1(\mathrm{mod}c),a^{2b}\equiv 1(\mathrm{mod}c)$
$\Rightarrow d\mid 2b;d\mid b\Rightarrow d\in \{2;2b\}$
+, Với $d=2b$ mà $d\mid c-1$ (vì ${\text{ord}}_c(a)\mid \varphi (c)=c-1$ do $c\in \mathbb{P}$) $\Rightarrow 2b\mid c-1$
+, Với $d=2\Rightarrow a^2\equiv 1(\mathrm{mod}c)\Rightarrow c\mid a^2-1$
$▶$ Áp dụng:
$(\ast )$ Nếu có ít nhất $2$ số bằng nhau, dễ dàng ta thấy điều vô lí!
$(\ast )$ Không mất tính tổng quát, giả sử $r<p<q$
+, Nếu cả $p,q,r$ đều lẻ. Ta có: $q\mid r^p+1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}2p\mid q-1\\ q\mid r^2-1\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}q-1\ge 2p\\ q\mid (r-1)(r+1)\end{array}$
Dễ dàng thấy trường hợp thứ nhất vô lí vì $q<p$
Ở trường hợp thứ hai, ta thấy $\gcd (r-1;r+1)=2,p\in \mathbb{P}\Rightarrow q\mid \frac{r-1}{2}$ hoặc $q\mid \frac{r+1}{2}$ mà $q<\frac{r-1}{2}<\frac{r+1}{2}<r$ (trái với giả thiết nên trường hợp này loại)
+, Nếu trong 3 số có $1$ số chẵn mà $r<q<p\Rightarrow r=2$
Ta có: $r\mid p^q+1\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}4=2q\mid r-1\\ r\mid p^2-1\end{array}$ $p\mid q^r+1\Rightarrow \{\begin{array}{l}2r\mid p-1\\ p\mid q^2-1\end{array}$ $\iff p\mid 3\Rightarrow p=3$
$\Rightarrow r\mid 10$ mà $p\in \mathbb{P}\Rightarrow r\in \{2;5\}$ mà $r>2\Rightarrow r=5$ (Thử lại thỏa mãn)
Vậy $(p,q,r)=(2;3;5)$ và hoán vị thỏa mãn ycđb $■$