Number Theory 21

(IMO 1997)
[Bài toán]: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $a^{b^2}=b^a$
                                                              Lời giải 
Đặt $\gcd (a,b)=d\Rightarrow a=dm,b=dn(\gcd (m,n)=1)$
$\Rightarrow [(dm{)}^{d{n}^2}{]}^d=[(dn{)}^m{]}^d\Rightarrow (dm{)}^{d{n}^2}=(dn{)}^m\Rightarrow d^{d{n}^2}.m^{d{n}^2}=d^m.n^m(1)$
$▶$ TH1: $d{n}^2=m\Rightarrow m^{d{n}^2}=n^m$ mà $\gcd (m,n)=1\Rightarrow m=n=1$ mà $d{n}^2=m\Rightarrow d=1\Rightarrow (a,b)=(1;1)$
$▶$ TH2: $d{n}^2>m\Rightarrow d^{d{n}^2-m}.m^{d{n}^2}=n^m$
Thấy $m^{d{n}^2}\mid n^m$ mà $\gcd (m,n)=1\Rightarrow m=1$
$\Rightarrow d^{d{n}^2-1}=n^1=n$
• Xét $d=1\Rightarrow n=1$ $\Rightarrow (a,b)=(1;1)$
• Xét $d\ge 2\Rightarrow n\ge 2$. Dùng quy nạp, ta sẽ CM: $2^{2n^2-1}>n(2)$
Giả sử $(2)\text{True}\forall n=k$, ta sẽ CM $\forall n=k+1,(3)$ vẫn đúng.
Thật vậy, ta có: $2^{2k^2-1}>k\Rightarrow 2^{2k^2-1}\ge k+1$
Ta có: $2^{2(k+1{)}^2-1}=2^{2k^2+4k+1}=2^{2k^2-1}.2^{4k+2}\ge (k+1).2^{4k+2}\ge k+1$
Do đó $(2)$ được CM $\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
$▶$ TH3: Xét $d{n}^2<m\Rightarrow (2)\iff m^{d{n}^2}=d^{m-d{n}^2}.n^m$ $\Rightarrow n^m\mid m^{d{n}^2}$ mà $\gcd (m,n)=1\Rightarrow n=1$
$\Rightarrow (2)\iff m^d=d^{m-d}$. Theo bài Number Theory 8
$\Rightarrow (m;d)\in \{(1;1);(9;3);(8;2)\}\Rightarrow (a,b)\in \{(1;1);(27;3);(16;2)\}$
Kết luận: Nghiệm của phương trình là $(a,b)\in \{(1;1);(27;3);(16;2)\}$ $■$