Number Theory 20

(Junior Balkan MO 2000)
[Bài toán] Tìm $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương.
                                                           Lời Giải
Đặt $n^2+3^n=a^2(1)(a\in {\mathbb{Z}}^{+})$
$\iff (a-n)(a+n)=3^n$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-n=3^m\\ a+n=3^{n-m}\end{array}$ $(m\in {\mathbb{Z}}^{+})$
Ta có: $m<c-m\iff 2m<c\iff 2m+1\le c$
$▶$ Xét $n=2m+1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-n=3^m\\ a+n=3^{m+1}\end{array}$
$\Rightarrow a+n=3(a-n)$
$\iff a=2n\Rightarrow n^2+3^n=4n^2$
$\iff 3^n=3n^2\iff 3^{n-1}=n^2$ $\Rightarrow n$ lẻ.
Đặt $n=2k+1(k\in \mathbb{N})\Rightarrow (3^k{)}^2=(2k+1{)}^2\iff 3^k=2k+1$
Áp dụng BĐT $Bernulli$: $1+2k\le (1+2{)}^k=3^k$
$\Rightarrow k\in \{0;1\}\Rightarrow n\in \{1;3\}$ (Thử lại thỏa mãn)
$▶$ Xét $n>2m+1\Rightarrow n\ge 2m+2$
Ta có: $2n=3^{n-m}-3^m=9.3^{n-m-2}-3^m$ mà $3^m\le 3^{n-m-2}\iff n\ge 2m+2(\text{True})$
Áp dụng bất đẳng thức $Bernulli$:
$\Rightarrow 2n\ge 8.3^{n-m-2}=8.(1+2{)}^{n-m-2}\ge 8[1+2(n-m-2)]=16n-16m-24$
$\iff 7n\le 8m+12$ mà $7n\ge 14m+14\Rightarrow 6m+2\le 0$ (vô lí)
Vậy $\boxed{n\in \{1;3\}}$ thỏa mãn $■$