Number Theory 2

(THTT 434 tháng 8-2013)
Cho biết $p$ nguyên tố. Tìm $x,y$ nguyên sao cho $x^2(x^2+y^2)=y^{p+1}$. (1)
Lời giải

Đặt $x^2=t(t\ge 0)$

(1) $\iff t^2+t{y}^2-y^{p+1}=0$.
Coi phương trình trên bậc hai ẩn $t$.
Ta có: $\Delta =y^4+4y^{p+1}$
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương.
Đặt $y^4+4y^{p+1}=a^2(a\in \mathbb{N})$ (2)

* Nếu $p=2\Rightarrow$ (1) $\iff y^4+4y^3=a^2\iff y^2(y^2+4y)=a^2$
$\Rightarrow y^2+4y$ là số chính phương.
Đặt $y^2+4y=b^2(b\in \mathbb{N})$
Ta có: $(y+2{)}^2-4=b^2\iff (y+2-b)(y+2+b)=4$
Vì y nguyên, b là số tự nhiên $\Rightarrow y+2-b\le y+2+b$
mà $y+2-b+y+2+b=2(y+2)$ chẵn $\Rightarrow 2+y-b;2+y+b$ cùng tính chẵn lẻ.
Xét các trường hợp:
+, $\{\begin{array}{cc}y+2-b=-2& \\ y+2+b=-2& \end{array}\iff y=4\Rightarrow (1)\iff x^4+16x^2+64=0\iff (x^2+8{)}^2=0\iff x^2=-8$ (vô lí)
+, $\{\begin{array}{cc}y+2-b=2& \\ y+2+b=2& \end{array}\iff y=0\Rightarrow x=0$

*Nếu $p>2\Rightarrow p$ lẻ. Đặt $p=2k+1(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$
Ta có: $\Delta =y^4+4^{2k+2}=y^4(1+4y^{2k-2})=a^2$
$\Rightarrow 1+4y^{2k-2}$ là số chính phương.
Đặt $1+4y^{2k-2}=c^2(c\in \mathbb{N})$ (3)
Ta có: (3) $\iff (c-2y^{k-1})(c+2y^{k-1})=1$
Lập luận tương tự như trường hợp trên, ta có các trường hợp sau:
$latex \left\{\begin{matrix} c-2y^{k-1}=\pm 1 & \\ c+2y^{k-1}=\pm 1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4y^{k-1}=0\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình có nghiệm là $(x,y)=(0;0)$