(Tuyển sinh Chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008) [Bài toán] CMR: $\forall n\in \mathbb{R}:\left \lfloor \sqrt[3]{72n+1} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt[3]{9n}+\sqrt[3]{9n+1} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt[3]{72n+7} \right \rfloor (*)$ Lời Giải Ta có: $9n<\sqrt[3]{(9n)^2(9n+1)}<\sqrt[3]{9n(9n+1)^2}<9n+1$ $\Rightarrow 18n<\sqrt[3]{9n(9n+1)}(\sqrt[3]{9n}+\sqrt[3]{9n+1})<18n+2$ $\Leftrightarrow 9n+9n+1+54n<9n+9n+1+3\sqrt[3]{9n.(9n+1)}(\sqrt[3]{9n}+\sqrt[3]{9n+1})<54n+6+9n+9n+1$ $\Leftrightarrow 72n+1<(\sqrt[3]{9n}+\sqrt[3]{9n+1})^3<72n+7$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{72n+1}<\sqrt[3]{9n}+\sqrt[3]{9n+1}<\sqrt[3]{72n+7}\qquad (1)$ Ta thấy: $a^3\equiv 0;1;8\pmod9\Rightarrow 72n+1$ có thể là một số lập phương Đặt $k^3=72n+1 (2)\Rightarrow 72n+8$ có thể là $(k+1)^3\Rightarrow 72n+7<(k+1)^3\qquad (3)$ Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow k\leq \sqrt[3]{72n+1}<\sqrt[3]{9n}+\sqrt[3]{9n+1}<\sqrt[3]{72n+7}<k+1\Rightarrow (*)$ Vậy ta có $Q.E.D$ $\blacksquare$

Number Theory 19

0 lượt xem 24/06/2026

Đề bài

(Tuyển sinh Chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008)
[Bài toán] CMR: $\forall n \in R : ⌊ 3 72 n + 1 ⌋ = ⌊ 3 9 n + 3 9 n + 1 ⌋ = ⌊ 3 72 n + 7 ⌋ (*)$
Lời Giải
Ta có: $9 n < 3 (9 n)^{2} (9 n + 1) < 3 9 n (9 n + 1)^{2} < 9 n + 1$
$\Rightarrow 18 n < 3 9 n (9 n + 1) (3 9 n + 3 9 n + 1) < 18 n + 2$
$\Leftrightarrow 9 n + 9 n + 1 + 54 n < 9 n + 9 n + 1 + 3 3 9 n . (9 n + 1) (3 9 n + 3 9 n + 1) < 54 n + 6 + 9 n + 9 n + 1$
$\Leftrightarrow 72 n + 1 < (3 9 n + 3 9 n + 1)^{3} < 72 n + 7$
$\Leftrightarrow 3 72 n + 1 < 3 9 n + 3 9 n + 1 < 3 72 n + 7 (1)$
Ta thấy: $a^{3} \equiv 0; 1; 8 (mod 9) \Rightarrow 72 n + 1$ có thể là một số lập phương
Đặt $k^{3} = 72 n + 1 (2) \Rightarrow 72 n + 8$ có thể là $(k + 1)^{3} \Rightarrow 72 n + 7 < (k + 1)^{3} (3)$
Từ $(1); (2); (3) \Rightarrow k \leq 3 72 n + 1 < 3 9 n + 3 9 n + 1 < 3 72 n + 7 < k + 1 \Rightarrow (*)$
Vậy ta có $Q . E . D$ $■$

Mô tả

(Tuyển sinh Chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008) [Bài toán] CMR: Lời Giải Ta có: Ta thấy: có thể là một số lập phương Đặt có […]

Số học

Nguồn: supermathtv