(Turkey Junior Balkan MO TST 2014) Tìm bộ ba nghiệm nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn phương trình $(a^3+b)(b^3+a)=2^c \qquad (1)$ Lời Giải Vì vai trò $a,b$ như nhau nên giả sử $a\geq b$ $\Rightarrow\begin{cases}a^3+b=2^m \\b^3+a=2^{c-m}\end{cases}\qquad (m\in \mathbb{Z^+};m<c)$ $\blacktriangleright$ Xét $a=1\Rightarrow \begin{cases}1+b=2^m \\b^3+1=2^{c-m}\end{cases}$ $\Leftrightarrow 2^m(b^2-b+1)=2^{c-m}$ $\Leftrightarrow b(b-1)+1=2^{c-2m}$ mà $VT$ lẻ $\Rightarrow VP$ lẻ $\Rightarrow c-2m=0\Leftrightarrow c=2m$ $\Rightarrow b(b-1)+1=1\Leftrightarrow b=1\Rightarrow c=2$ (Thử lại thỏa mãn) $\blacktriangleright$ Xét $a\geq 2$. Xét biểu thức: $ab(ab-1)(ab+1)=a^3b^3-ab=b^3(a^3+b)-b(b^3+a)=b^3.2^m-b.2^{c-m}$ $=2^m(b^3-b.2^{c-2m})\Rightarrow 2^m\mid ab(ab-1)(ab+1)$ mà dễ thấy $\gcd(ab,a^2b^2-1)=1$ $\Rightarrow 2$ trường hợp sau: $(*)$ Trường hợp $2^m\mid ab\Rightarrow ab\geq 2^m\Leftrightarrow ab\geq a^3+b$ $\displaystyle{\Leftrightarrow b\geq \frac{a^3}{a-1}}$ mà $\displaystyle{\frac{a^3}{a-1}}> a\Leftrightarrow a(a^2-a+1)>0(\text{True})$ $\Rightarrow b>a$ (mâu thuẫn với giả sử ban đầu) $(*)$ Xét $2^m\mid (ab-1)(ab+1)$, mà ta thấy $\gcd(ab-1,ab+1)=2$ $\Rightarrow 2$ trường hợp: +, Nếu $\displaystyle{2^{m-1}\mid ab-1\Rightarrow \frac{a^3+b}{2}\mid ab-1\Rightarrow a^3+b\mid 2ab-2\Rightarrow \frac{2a^3b-2a^2}{a^3+b}}\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow \displaystyle{\frac{2b(a^3+b)-2a^2-2b^2}{a^3+b}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{2a^2+2b^2}{a^3+b}}\in \mathbb{Z^+}$ $\Rightarrow 2a^2+2b^2\geq a^3+b\Leftrightarrow 2b^2-b\geq a^3-2a^2\geq b^3-2b^2$ $\Leftrightarrow b^3-4b^2+b\leq 0\Leftrightarrow b^2-4b+1\leq 0$ $\Leftrightarrow 2-\sqrt{3}\leq b\leq 2+\sqrt{3}\Rightarrow 1\leq b\leq 3(b\in \mathbb{Z^+})$ mà $2^{m-1}\mid ab-1\Rightarrow ab$ lẻ $\Rightarrow b$ lẻ $\Rightarrow b\in \{1;3\}$ • Với $b=1\Rightarrow (a,b)=(1;2)$ • Với $b=3\Rightarrow (1) \Leftrightarrow (a^3+3)(a+27)=2^c\Rightarrow (a,c)=(5;12)$ +, Nếu $2^{m-1}\mid ab+1\Rightarrow \displaystyle{\frac{2a^3b+2b^2}{a^3+b}}\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow \displaystyle{\frac{2a^2-2b^2}{a^3+b}}\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow 2a^2-2b^2\geq a^3+b$ $\Leftrightarrow -2b^2-b\geq a^3-2a^2\geq b^3-2b^2\Leftrightarrow b^3+b\leq 0$ (vô lí) Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: $\boxed{(a,b,c)\in \{(1;1;2);(3;5;12);(5;3;12)\}}$

Number Theory 18

(Turkey Junior Balkan MO TST 2014)
Tìm bộ ba nghiệm nguyên dương $(a, b, c)$ thỏa mãn phương trình $(a^{3} + b) (b^{3} + a) = 2^{c} (1)$
Lời Giải
Vì vai trò $a, b$ như nhau nên giả sử $a \geq b$
$\Rightarrow {a^{3} + b = 2^{m} b^{3} + a = 2^{c - m} (m \in Z^{+}; m < c)$
$▶$ Xét $a = 1 \Rightarrow {1 + b = 2^{m} b^{3} + 1 = 2^{c - m}$ $\Leftrightarrow 2^{m} (b^{2} - b + 1) = 2^{c - m}$
$\Leftrightarrow b (b - 1) + 1 = 2^{c - 2 m}$ mà $V T$ lẻ $\Rightarrow V P$ lẻ $\Rightarrow c - 2 m = 0 \Leftrightarrow c = 2 m$ $\Rightarrow b (b - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow c = 2$ (Thử lại thỏa mãn)
$▶$ Xét $a \geq 2$ . Xét biểu thức:
$ab (ab - 1) (ab + 1) = a^{3} b^{3} - ab = b^{3} (a^{3} + b) - b (b^{3} + a) = b^{3} . 2^{m} - b . 2^{c - m}$
$= 2^{m} (b^{3} - b . 2^{c - 2 m}) \Rightarrow 2^{m} ∣ ab (ab - 1) (ab + 1)$ mà dễ thấy $g cd (ab, a^{2} b^{2} - 1) = 1$ $\Rightarrow 2$ trường hợp sau:
$(*)$ Trường hợp $2^{m} ∣ ab \Rightarrow ab \geq 2^{m} \Leftrightarrow ab \geq a^{3} + b$
$\Leftrightarrow b \geq \frac{a ^{3}}{a - 1}$
mà $\frac{a ^{3}}{a - 1} > a \Leftrightarrow a (a^{2} - a + 1) > 0 (True)$
$\Rightarrow b > a$ (mâu thuẫn với giả sử ban đầu)
$(*)$ Xét $2^{m} ∣ (ab - 1) (ab + 1)$ , mà ta thấy $g cd (ab - 1, ab + 1) = 2$ $\Rightarrow 2$ trường hợp:
+, Nếu $2^{m - 1} ∣ ab - 1 \Rightarrow \frac{a ^{3} + b}{2} ∣ ab - 1 \Rightarrow a^{3} + b ∣ 2 ab - 2 \Rightarrow \frac{2 a ^{3} b - 2 a ^{2}}{a ^{3} + b} \in Z$ $\Rightarrow \frac{2 b ( a ^{3} + b ) - 2 a ^{2} - 2 b ^{2}}{a ^{3} + b} \in Z \Rightarrow \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2}}{a ^{3} + b} \in Z^{+}$
$\Rightarrow 2 a^{2} + 2 b^{2} \geq a^{3} + b \Leftrightarrow 2 b^{2} - b \geq a^{3} - 2 a^{2} \geq b^{3} - 2 b^{2}$
$\Leftrightarrow b^{3} - 4 b^{2} + b \leq 0 \Leftrightarrow b^{2} - 4 b + 1 \leq 0$
$\Leftrightarrow 2 - 3 \leq b \leq 2 + 3 \Rightarrow 1 \leq b \leq 3 (b \in Z^{+})$
mà $2^{m - 1} ∣ ab - 1 \Rightarrow ab$ lẻ $\Rightarrow b$ lẻ $\Rightarrow b \in {1; 3}$
• Với $b = 1 \Rightarrow (a, b) = (1; 2)$
• Với $b = 3 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow (a^{3} + 3) (a + 27) = 2^{c} \Rightarrow (a, c) = (5; 12)$
+, Nếu $2^{m - 1} ∣ ab + 1 \Rightarrow \frac{2 a ^{3} b + 2 b ^{2}}{a ^{3} + b} \in Z^{+} \Rightarrow \frac{2 a ^{2} - 2 b ^{2}}{a ^{3} + b} \in Z^{+} \Rightarrow 2 a^{2} - 2 b^{2} \geq a^{3} + b$
$\Leftrightarrow - 2 b^{2} - b \geq a^{3} - 2 a^{2} \geq b^{3} - 2 b^{2} \Leftrightarrow b^{3} + b \leq 0$ (vô lí)
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: $(a, b, c) \in {(1; 1; 2); (3; 5; 12); (5; 3; 12)}$

Number Theory 18

Đề bài

Mô tả