Number Theory 17

(THTT tháng 7 – 2014)
Cho $a,b>0$ sao cho $a+b;ab$ nguyên dương và $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor$ là số chính phương. CMR: $a,b$ nguyên dương.
                                                                    Lời Giải
Áp dụng bất đẳng thức: $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor \forall x,y\in \mathbb{R}$
Ta có: $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor \le \lfloor (a+b{)}^2\rfloor =(a+b{)}^2$
$(\ast )$ Xét $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor =(a+b{)}^2$
$\iff \lfloor a^2\rfloor +\lfloor b^2\rfloor =a^2+b^2$
Mà $\lfloor a^2\rfloor \le a^2;\lfloor b^2\rfloor \le b$
$\Rightarrow \lfloor a^2\rfloor =a^2;\lfloor b^2\rfloor =b^2\Rightarrow a^2,b^2\in {\mathbb{Z}}^{+}$
Đặt $a+b=k;ab=q(k,q\in {\mathbb{Z}}^{+})\Rightarrow k-a=\frac{q}{a}$
$\iff ka-a^2=q\iff a=\frac{q+a^2}{k}\in {\mathbb{Q}}^{+}$
$\Rightarrow b\in \mathbb{Q}$ mà $a^2,b^2\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$
$(\ast )$ Xét $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor <(a+b{)}^2$
mà $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor$ là số chính phương
$\to$ Đặt $\lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor =(a+b-k{)}^2(k\in \mathbb{N},1\le k\le a+b)$
$\iff a^2+ab-\{a^2\}+b^2+ab-\{b^2\}=a^2+b^2+k^2-2k(a+b)+2ab$
$\iff \{a^2\}+\{b^2\}=-k^2+2k(a+b)$ mà $0\le \{a^2\}+\{b^2\}<2\in \mathbb{N}$ $\Rightarrow \{a^2\}+\{b^2\}=1\Rightarrow k[2(a+b)-k]=1\Rightarrow k=a+b=1$
$\Rightarrow \lfloor a^2+ab\rfloor +\lfloor b^2+ab\rfloor =0$ (mâu thuẫn)
Vậy ta có $Q.E.D$ $■$