Number Theory 16

Giả sử $x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho $xy\mid x^2+y^2+6$. CMR: $A=\frac{x^2+y^2+6}{xy}$ là lập phương đúng của một số tự nhiên.
                                                              Lời giải
$(\ast )$ Xét $x=y\Rightarrow A=\frac{2x^2+6}{x^2}=2+\frac{6}{x^2};A\in \mathbb{N}\ast \Rightarrow x^2\in U(6)\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1\Rightarrow A=8=2^3\to \text{True}$
$(\ast )$ Xét $x\ne y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x>y$.
Gọi $(x,y)$ là bộ số có $x$ nhỏ nhất sao cho $A\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
Ta có: $A=\frac{x^2+y^2+6}{xy}\iff x^2-x.Ay+y^2+6=0(1)$
Theo định lí $\text{Viete}:f(x)$ còn một nghiệm là $x^{\prime }=\frac{y^2+6}{x}\ge x>y$ (Theo cách chọn bộ ở trên)
$\Rightarrow y$ ở ngoài khoảng hai nghiệm của $f(x)$
$\Rightarrow f(y)\ge 0$ (Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai)
$\Rightarrow y^2-A{y}^2+y^2+6>0\iff A<\frac{6}{y^2}+2$
Xét $y>1\Rightarrow A<2+\frac{6}{1^2}=8\Rightarrow A=1$ (vì $A$ là lập phương đúng) $\Rightarrow x^2-xy+y^2=-6$ (vô lí)
$\Rightarrow y=1\Rightarrow A=\frac{x^2+7}{x}=x+\frac{7}{x}\Rightarrow x\in U(7),x\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow x\in \left\{1;7\right\}\Rightarrow A=8=2^3$
Vậy ta có $Q.E.D■$