Number Theory 15

(Olympic Chuyên KHTN 2014)
Tìm tất cả bộ $3$ số $(x,n,p)$ với $x,n\in {\mathbb{Z}}^{+},p\in \mathbb{P}$ thỏa mãn:
$x^3+2x=3(p^n-1)$
                                                             Lời Giải
Ta có: $x^3+2x=3(p^n-1)$ $\iff (x+1)(x^2-x+3)=3p^n$
Đặt $\gcd (x+1;x^2-x+3)=d(d\in {\mathbb{N}}^{\ast })$
$\Rightarrow d\mid x+1;d\mid x^2-x+3=(x+1)(x-2)+5$ $d\mid 5$ $d\in \left\{\begin{array}{c}1;5\end{array}\right\}$
$(\ast )$ Xét $d=1$
+, Xét $p=3\Rightarrow (x+1)(x^2-x+3)=3^{n+1}=1.3^{n+1}$ mà $x\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow x+1>1,x^2-x+3>1$ $\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra
+, Xét $p\ne 3$
• $\{\begin{array}{l}x+1=3\\ x^2-x+3=p^n\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}n=1\\ x=2\\ p=5\end{array}$
• $\{\begin{array}{l}x+1=p^n\\ x^2-x+3=3\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ p=2\\ n=1\end{array}$
$(\ast )$ Xét $d=5\Rightarrow 3p^n⋮5$ $\Rightarrow p=5$, với $n\ge 2$
Ta có: $(x+1)(x^2-x+3)=3.5^n=\mathrm{3.5.}{5}^{n-1}$ nên xét các trường hợp sau:
• $\{\begin{array}{l}x+1=5\\ x^2-x+3=3.5^{n-1}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ n=2\\ p=5\end{array}$
• $\{\begin{array}{l}x+1=3.5^{n-1}\\ x^2-x+2=5\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ n=1\\ p=5\end{array}$
• $\{\begin{array}{l}x+1=3.5\\ x^2-x+3=5^{n-1}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=14\\ 5^{n-1}=185\end{array}$ (vô lí)
• $\{\begin{array}{l}x+1=5^{n-1}\\ x^2-x+3=15\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ n=2\\ p=5\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm $\boxed{(x,n,p)=\{(4;2;5);(1;1;2);(2;1;5)\}}$ $■$