Number Theory 14

Cho $a,b\in \mathbb{P}$ sao cho $b\mid a-1,a\mid b^3-1$.
CMR: $\sqrt{a+b}$ là một số nguyên.
                                                             Lời Giải
Ta có: $b\mid a-1$ $\Rightarrow a-1\ge b$ $\iff a\ge b+1$ (vì $a-1>0$)
Lại có: $a\mid b^3-1$ $\Rightarrow a\mid (b-1)(b^2+b+1)$ mà $a\in \mathbb{P}$ nên ta có $2$ trường hợp sau:
+, Nếu $a\mid b-1$ $\Rightarrow b-1\ge a$ $\iff b\ge a+1\ge b+2$ (vô lí)
+, Nếu $a\mid b^2+b+1$ mà $b^2+b+1>0$ $\Rightarrow b^2+b+1-a\ge 0(1)$
Ta có: $b\mid a-1,a\mid b^2+b+1$ $\Rightarrow ab\mid (a-1)(b^2+b+1)$
$\Rightarrow ab\mid b^2+b+1-a(2)$
Từ $(1),(2)$ $\Rightarrow 2$ trường hợp sau:
• Nếu $b^2+b+1-a\ge ab$ $\iff b^2\ge (a-1)(b+1)$
mà $a-1\ge b,b+1>b$ $\Rightarrow (a-1)(b+1)>b^2$ (mâu thuẫn)
• Nếu $b^2+b+1=a$ $\iff \sqrt{a+b}=b+1$
Vậy ta có $Q.E.D$ $■$