Number Theory 13

(Balkan MO 2005)
[Bài toán]: Tìm $p$ nguyên tố sao cho $p^2-p+1$ là lập phương một số tự nhiên.
                                                          Lời Giải
Đặt $p^2-p+1=a^3(a\in \mathbb{N})(1)$
-Với $a=0$ không thỏa mãn
$(1)\iff p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)(2)$
$\Rightarrow p\mid (a-1)(a^2+a+1)$ $\Rightarrow 2$ trường hợp:
$▶$ Nếu $p\mid a-1$. Đặt $a-1=pk(k\in \mathbb{N})$
Ta có: $(1)\iff p^2-p+1=(pk+1{)}^3=p^3{k}^3+3p^2{k}^2+3pk+1$
$\iff p-1=p^2{k}^3+3p{k}^2+3k$
+, Nếu $k\ge 2$ $\Rightarrow p-1\ge 8p^2+12p+6\iff 8p^2+11p+7\le 0$ (vô lí)
+, Nếu $k=1$ $\Rightarrow p-1=p^2+3p+3$ $\iff p^2+2p+4=0$ (vô lí)
+, Nếu $k=0$ $\Rightarrow p=1$ (vô lí)
Vậy trường hợp này không xảy ra.
$▶$ Nếu $p\mid a^2+a+1(3)$
Từ $(2)$ $\Rightarrow a-1\mid p(p-1)$ mà $\gcd (p;p-1)=1$ nên ta có $2$ trường hợp:
+, Xét $a-1\mid p$ $\Rightarrow p\ge a-1$ $\Rightarrow p^2-p+1\le (p+1{)}^3$
$\iff p(p^2+2p+4)\le 0$ (vô lí)
+, Xét $a-1\mid p-1$. Đặt $p-1=q(a-1)(q\in {\mathbb{Z}}^{+})$ $\iff p=q(a-1)+1(4)$
Từ $(3),(4)$ $\Rightarrow \frac{a^2+a+1}{aq-q+1}\in {\mathbb{Z}}^{+}$
$\Rightarrow \frac{a^2+aq+q}{aq-q+1}=\frac{a(aq-q+1)+2(aq-q+1)+3q-a-2}{aq-q+1}$
$=a+2+\frac{3q-a-2}{aq-q+1}\in {\mathbb{Z}}^{+}$
$\Rightarrow aq-q+1\mid 3q-a-2$
$\Rightarrow \left|3q-a-2\right|\ge aq-q+1$
• Nếu $3q-a-2\ge aq-q+1$ $\iff q(4-a)\ge 3+a$ $\iff (q+1)(a-4)\le -7$
Thay $a=1;2;3$ đều không thỏa mãn $\Rightarrow a\ge 4$ $\Rightarrow (q+1)(a-4)\ge 0$ (vì $q\in {\mathbb{Z}}^{+}$). Ta có điều mâu thuẫn nên trường hợp này không xảy ra.
• Nếu $2+a-3q\ge aq-q+1$ $\iff a+1\ge q(a+2)$ (vô lí vì $a+1<a+2,q\in {\mathbb{Z}}^{+}$)
• Nếu $2+a-3q=0$ $\iff 2+a=3q$
Ta có: $(4)\iff 3p=3q(a-1)+3=(a-1)(2+a)+3=a^2+a+1$
$\Rightarrow (2)\iff p(p-1)=3p(a-1)$ $\iff p=3a-2$
$\Rightarrow 3(3a-2)=a^2+a+1\iff (a-1)(a-7)=0\iff a=1;7$
$\Rightarrow a=7\Rightarrow p=19$ (Thay vào $(1)$)
Kết luận: Vậy $\boxed{p=19}$ thỏa mãn $■$