Number Theory 12

(VMO 1995)
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,n>1$ thỏa mãn điều kiện: $(a^3+b^3{)}^n=4(ab{)}^{1995}(1)$
                                                        Lời Giải
Từ $(1)\Rightarrow a^3+b^3$ chẵn $\Rightarrow a,b$ cùng dấu.
Đặt $a=2^p{x}_p;b=2^q{y}_p$ (với $p,q\ge 0;x_p,y_p$ lẻ)
$(\ast )$ Xét $p=q=0\Rightarrow a,b$ lẻ
+, Nếu $n>2$ $\Rightarrow 8\mid (a^3+b^3{)}^n$ mà $8\nmid 4(ab{)}^{1995}$
$\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
+, Nếu $n=2\Rightarrow (a^3+b^3{)}^2=4(ab{)}^{1995}$
$\iff a^6+b^6=2(ab{)}^3[2(ab{)}^{1992}-1]$ $2(ab{)}^{1992}-1\mid a^6+b^6$ mà $a^6+b^6>0$
$\Rightarrow a^6+b^6\ge 2(ab{)}^{1992}-1$ $\iff \frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{a^6{b}^6}\ge 2(ab{)}^{1986}$ (vô lí vì $a,b>1$)
$(\ast )$ Xét $p,q>0\Rightarrow a,b$ chẵn
Ta có: $(1)\iff [(2^p{x}_p{)}^3+(2^q{y}_p{)}^3{]}^n=4(2^{p+q}{x}_p{y}_p{)}^{1995}$
$\iff [(2^{p-1}{x}_p{)}^3+(x^{q-1}{y}_p{)}^3{]}^n=2^{1995(p+q)+2+3n}.(x_p{y}_p{)}^{1995}$
$\iff .......$
$\iff [(2^{p-k}{x}_p{)}^3+(2^{q-k}{y}_p{)}^3{]}^n=2^{1995(p+q)+2+3n.2^{k-1}}.(x_p{y}_p{)}^{1995}$ (với $k\in {\mathbb{Z}}^{+},k\le p,q$)
Xét $p\ne q$, vì vai trò như nhau, giả sử $p>q$. Nếu $q=k\Rightarrow VT$ lẻ mà $VP$ chẵn.
$\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra $p=q$
$\Rightarrow [(2^{p-1}{)}^3(x_p^3+y_p^3){]}^n=2^{3990p+2+3n}.(x_p{y}_p{)}^{1995}$
$\iff (x_p^3+y_p^3{)}^n=2^{3990p+2+6n-3np}.(x_p{y}_p{)}^{1995}$
Vì $x_p,y_p$ lẻ $\Rightarrow (x_p^3+y_p^3{)}^n$ chẵn
Đặt $(x_p^3+y_p^3{)}^n=2^{n}l$ ($l$ lẻ, $l\in {\mathbb{Z}}^{+}$)
Ta có: $2^{n}l=2^{3990p+2+6n-3np}.(x_p{y}_p{)}^{1995}$
$\iff l=2^{3990p+2+5n-3np}.(x_p{y}_p{)}^{1995}$ mà $(x_p{y}_p{)}^{1}995$ lẻ
$\Rightarrow 2^{3990p+2+5n-3np}=1$ $\iff 3990p+2+5n-3np=0$
$\iff (3p-5)(n-1330)=6652$
Vì $p,n\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow 3p-5;n-1330\in \mathbb{Z}(2)$
Từ $(1),n>1\Rightarrow 4(ab{)}^{1995}=(a^3+b^3{)}^n\ge 2^n(ab{)}^{\frac{3}{2}}$ $\ge 4a{b}^{\frac{3n}{2}}$
$\Rightarrow \frac{3n}{2}\le 1995$ $\iff n\le 1330$
• Xét $=1\Rightarrow n-1330=-3326$ $\iff n<0$ (vô lí)
• Xét $p\ge 2\Rightarrow 3p-5>0(3)$
Từ  $(2),(3),6652=2^2.1663\Rightarrow$ Ta có các trường hợp sau:
-Nếu $3p-5=1,n-1330=6652\Rightarrow p=2,n=7982$ (loại)
-Nếu $3p-5=2,n-1330=3326\Rightarrow p=\frac{7}{3},n=4656$ (loại)
-Nếu $3p-5=4,n-1330=1663\Rightarrow p=3,n=2993$ (loại)
-Nếu $3p-5=1663,n-1330=4\Rightarrow p=556,n=1334$ (loại)
-Nếu $3p-5=3326,n-1330=2\Rightarrow p=\frac{3331}{3},n=1332$ (loại)
-Nếu $3p-5=6652,n-1330=1\Rightarrow p=2219,n=1331$ (loại)
Kết luận: Vậy phương trình không có nghiệm nguyên $(a,b,n)>1$  $■$