Number Theory 11

CMR: Nếu $a,b,c\in \mathbb{Z}$ khác $0$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$ thì $abc$ là lập phương của một số nguyên.
                                                               Lời Giải 
Đặt $x^3=\frac{a}{b},y^3=\frac{b}{c},c^3=\frac{c}{a}$.
Từ giả thiết $\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0$
$\Rightarrow 2$ trường hợp sau:
$(\ast )$ $x=y=z$ $\Rightarrow a=b=c$ $\Rightarrow abc=a^3(Q.E.D)$
$(\ast )x+y+z=0$ $\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=0$
Nhân hai vế lần lượt với $a\sqrt[3]{b^{2}c},b\sqrt[3]{a{c}^2}$, ta được:
$a\sqrt[3]{abc}+ab+\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}=0$
và $\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+b\sqrt[3]{abc}+bc=0$
Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta có:
$(a-b)\sqrt[3]{abc}=b(c-a)$
Nếu $a=b\Rightarrow a=b=c$ $\Rightarrow x=y=z=1$ (không thỏa mãn)
Vậy $a\ne b$ $\Rightarrow abc=[\frac{b(c-a)}{a-b}{]}^3$
mà $a,b,c\in \mathbb{Z}$ nên ta có $Q.E,D$ $■$