Number Theory 10

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2+5=y^3$
                                                                Lời Giải
$(\ast )$ Xét $y$ chẵn $\Rightarrow y^3\equiv 0(\mathrm{mod}8)\Rightarrow x^2+5\equiv 0(\mathrm{mod}8)\Rightarrow x^2\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ (vô lí)
$(\ast )$ Xét $y$ lẻ
• Nếu $y=4k+3(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $y^3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$
$\Rightarrow x^2+5\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ $\Rightarrow x^2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ (vô lí)
• Nếu $y=4k+1(k\in \mathbb{Z})$
Ta có: $pt\iff x^2+4=y^3-1\iff x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)$
Ta thấy $y^2+y+1=(4k+1{)}^2+(4k+1)+1=4t+3$
$\Rightarrow y^3-1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p=4a+3$
$\Rightarrow p=4a+3$ $\mid x^2+4$ $\Rightarrow p\mid 4$
$\Rightarrow p=2$ (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên $■$
___________________________

Tổng quát, ta có phương trình $\text{Mordell}$:
$x^2+k=y^3$ với $k,x,y\in \mathbb{Z}$
Ta có bài toán $\text{Lebesgue}$ với $k=-7$
$x^2-y^3=7$