Number Theory 1

Cho $n$ là số tự nhiên lẻ và $n$ có thể biểu diễn không ít hơn 2 cách là tổng của hai số chính phương.
CMR: $n$ là hợp số.
                                                                                                                  Lời giải
Giả sử$n$ là số nguyên tố.

Vì n có thể biểu diễn không ít hơn 2 cách là tổng của 2 số chính phương nên ta đặt $n=a^2+b^2=c^2+d^2$, $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2\Rightarrow n^2\ge (ac+bd{)}^2$ (1)

Ta có: $(ac+bd)(ad+bc)=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)=(ab+cd)n$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}ac+bd⋮n& & \\ ad+bc⋮n& & \end{array}\right]$

Không mất tính tổng quát, giả sử  $ac+bd⋮n\Rightarrow (ac+bd{)}^2\ge n^2$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow (ac+bd{)}^2=n^2$
$\iff ad=bc\iff \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

+, Nếu $a>c\Rightarrow b>d\Rightarrow a^2+b^2>c^2+d^2$ (mâu thuẫn)

+, Nếu $a<c$, tương tự, cũng có điều mâu thuẫn!

Vậy giả sử sai, có $dpcm$