Inequality

Bài toán (Chọn đội tuyển THPT Chuyên Sư phạm 2014-2015)

Cho các số thực $x,y,z$ không âm đôi một phân biệt. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{x+y}{(x-y{)}^2}+\frac{y+z}{(y-z{)}^2}+\frac{z+x}{(z-x{)}^2}\ge \frac{9}{x+y+z}$$

Lời giải :

Không giảm tổng quát, ta giả sử $z=\min \left\{x,y,z\right\}$. Khi đó tồn tại các số thực dương $a,b$ sao cho $x=z+a,y=z+b$.

Như vậy ta có thể viết BĐT đã cho dưới dạng :

$$(3z+a+b)\left[\frac{2z+a+b}{(a-b{)}^2}+\frac{2z+b}{b^2}+\frac{2z+a}{a^2}\right]\ge 9$$

Vì $z\ge 0$ nên ta chỉ cần chứng minh :

$(a+b)\left[\frac{a+b}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right]$$\ge 9$$\iff {\left(\frac{a+b}{a-b}\right)}^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$\ge 7$

Do tính thuần nhất nên giả sử $b=1$. Cần chứng minh :

${\left(\frac{a+1}{a-1}\right)}^2+a+\frac{1}{a}$$\ge 7$$\iff a^4-8a^3+18a^2-8a+1$$\ge 0$$\iff (a^2-4a+1{)}^2$$\ge 0$

 Điều này luôn đúng. Như vậy ta được điều phải chứng minh.

Lưu ý : Kỹ thuật sắp thứ tự biến và đặt $z=x+a,y=x+b$ tỏ ra hữu hiệu với những bài toán có dấu bằng tại một biến bằng $0$, chứa các đại lượng $x-y,y-z,z-x$ và các biểu thức chứa biến nằm ở phía lớn hơn của bất đẳng thức.