Bài toán : (CĐT HSG toán 10 năm 2013-2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của : \[P=x^2y^3z^4\] Tìm kiếm lời giải : Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$ ta có $a^2+b^2+c^2=1$. Theo BĐT $AM-GM$ : \[\dfrac{2x}{a}+\dfrac{3y}{b}+\dfrac{4z}{c}\geq 9.\sqrt[9]{\dfrac{x^2y^3z^4}{a^2b^3c^4}}\] Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ : \[\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( \dfrac{4}{a^2} +\dfrac{9}{b^2}+ \dfrac{16}{c^2}\right )\geq \left ( \dfrac{2x}{a}+\dfrac{3y}{b}+ \dfrac{4z}{c}\right )^{2}\] Ở đây thì đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{ax}{2}=\dfrac{by}{3}=\dfrac{cz}{4}\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{b^2}{3}=\dfrac{c^2}{4}$ Như vậy ta chọn $a,b,c$ thỏa mãn hệ : \[\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=1\\ \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{b^2}{3}=\dfrac{c^2}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}}{3},b=\dfrac{\sqrt{3}}{3},c=\dfrac{2}{3}\] Từ đó dẫn đến lời giải bài toán. Lời giải : Áp dụng BĐT $AM-GM$ : \[\dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}}+\dfrac{3y}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}+\dfrac{4z}{\dfrac{2}{3}}\geq 9.\sqrt[9]{\frac{x^2y^3z^4}{\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right )^2\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )^3\left ( \dfrac{2}{3} \right )^4}}\;\;\;(1)\] Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ : \[\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left [ \left ( \dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}} \right )^2+\left ( \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \right )^2+\left ( \dfrac{4}{\dfrac{2}{3}} \right )^2 \right ]\geq \left ( \dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}} +\dfrac{3y}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}+ \dfrac{4z}{\dfrac{2}{3}}\right )^2\Rightarrow \dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}} +\dfrac{3y}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}+ \dfrac{4z}{\dfrac{2}{3}}\leq 9\;\;\;(2)\] Từ $(1)(2)$ ta suy ra $x^2y^3z^4\leq \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right )^2\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )^3\left ( \dfrac{2}{3} \right )^4=\dfrac{32\sqrt{3}}{6561}$ Kết luận $MaxP=\dfrac{32\sqrt{3}}{6561}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{3},y=\dfrac{\sqrt{3}}{3},z=\dfrac{2}{3}$

Inequality

Bài toán : (CĐT HSG toán 10 năm 2013-2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Cho các số dương $x, y, z$ thỏa $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P = x^{2} y^{3} z^{4}$

Tìm kiếm lời giải :

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x = a, y = b, z = c$ ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ .

Theo BĐT $A M - GM$ :

$\frac{2 x}{a} + \frac{3 y}{b} + \frac{4 z}{c} \geq 9. 9 \frac{x ^{2} y ^{3} z ^{4}}{a ^{2} b ^{3} c ^{4}}$

Theo BĐT $C a u c h y - S c h w a r z$ :

$(x^{2} + y^{2} + z^{2}) (\frac{4}{a ^{2}} + \frac{9}{b ^{2}} + \frac{16}{c ^{2}}) \geq (\frac{2 x}{a} + \frac{3 y}{b} + \frac{4 z}{c})^{2}$

Ở đây thì đẳng thức xảy ra khi $\frac{a x}{2} = \frac{b y}{3} = \frac{cz}{4} \Leftrightarrow \frac{a ^{2}}{2} = \frac{b ^{2}}{3} = \frac{c ^{2}}{4}$

Như vậy ta chọn $a, b, c$ thỏa mãn hệ :

$⎩ ⎨ ⎧ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \frac{a ^{2}}{2} = \frac{b ^{2}}{3} = \frac{c ^{2}}{4} \Rightarrow a = \frac{2}{3}, b = \frac{3}{3}, c = \frac{2}{3}$

Từ đó dẫn đến lời giải bài toán.

Lời giải :

Áp dụng BĐT $A M - GM$ :

$\frac{2 x}{\frac{2}{3}} + \frac{3 y}{\frac{3}{3}} + \frac{4 z}{\frac{2}{3}} \geq 9. 9 \frac{x ^{2} y ^{3} z ^{4}}{( \frac{2}{3} ) ^{2} ( \frac{3}{3} ) ^{3} ( \frac{2}{3} ) ^{4}} (1)$

Áp dụng BĐT $C a u c h y - S c h w a r z$ :

$(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \frac{2}{\frac{2}{3}}^{2} + \frac{3}{\frac{3}{3}}^{2} + \frac{4}{\frac{2}{3}}^{2} \geq \frac{2 x}{\frac{2}{3}} + \frac{3 y}{\frac{3}{3}} + \frac{4 z}{\frac{2}{3}}^{2} \Rightarrow \frac{2 x}{\frac{2}{3}} + \frac{3 y}{\frac{3}{3}} + \frac{4 z}{\frac{2}{3}} \leq 9 (2)$

Từ $(1) (2)$ ta suy ra $x^{2} y^{3} z^{4} \leq (\frac{2}{3})^{2} (\frac{3}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{4} = \frac{32 3}{6561}$

Kết luận $M a x P = \frac{32 3}{6561} \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}, y = \frac{3}{3}, z = \frac{2}{3}$

Inequality

Đề bài

Mô tả