Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm và hai trong ba số không đồng thời bằng $0$. CMR: $\displaystyle{\sum \frac{1}{4a^2+b^2+c^2}\geq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}} \qquad \triangle$. Lời Giải Cách 1: Ta nhân hai vế với $4(a^2+b^2+c^2)$. Ta có: $\displaystyle{\sum \frac{(4a^2+b^2+c^2)+3(b^2+c^2)}{4a^2+b^2+c^2}\leq 2+\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{\sum \frac{6a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq 5}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{\sum \frac{6a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{2(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 9}$ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức C-S: Ta có: $\displaystyle{\sum \frac{6a^2}{4a^2+b^2+c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}}$ Do đó, ta chỉ cần CM: $\displaystyle{(a+b+c)^2(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{ab+bc+ca})\geq 9}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{(a+b+c)^2.\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq 9(DPCM)}$ $\blacksquare$ Cách 2: Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=3$ Ta có: $BDT\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a^2+1})\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{ab+bc+ca}}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{\sum (\frac{1}{3a^2+3}-\frac{1}{3})\leq \frac{-5}{6}+\frac{1}{ab+bc+ca}}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{\sum \frac{-a^2}{3(a^2+1)}\leq \frac{-5}{6}+\frac{1}{ab+bc+ca}}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{\sum \frac{a^2}{3(a^2+1)}\geq \frac{5(ab+bc+ca)-6}{6(ab+bc+ca)}}$ Áp dụng bất đẳng thức C-S Ta có: $\displaystyle{\sum \frac{a^2}{3(a^2+1)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{2(ab+bc+ca)+3}{18}}$ Đặt $ab+bc+ca=x$ Cần CM: $\displaystyle{\frac{2x+3}{18}\geq \frac{5x-6}{6x}\Leftrightarrow (x-3)^2\geq 0(TRUE)}$ Vậy BĐT được CM, dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ thỏa mãn ĐK ban đầu $\blacksquare$

Inequality 6

Cho $a, b, c$ là ba số thực không âm và hai trong ba số không đồng thời bằng $0$ .
CMR: $\sum \frac{1}{4 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} \geq \frac{1}{2 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )} + \frac{1}{ab + b c + c a} △$ .
Lời Giải
Cách 1:
Ta nhân hai vế với $4 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .
Ta có: $\sum \frac{( 4 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} ) + 3 ( b ^{2} + c ^{2} )}{4 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} \leq 2 + \frac{4 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )}{ab + b c + c a}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{6 a ^{2}}{4 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )}{ab + b c + c a} \geq 5$
$\Leftrightarrow \sum \frac{6 a ^{2}}{4 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 ( a + b + c ) ^{2}}{ab + b c + c a} \geq 9$
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức C-S:
Ta có: $\sum \frac{6 a ^{2}}{4 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} \geq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
Do đó, ta chỉ cần CM:
$(a + b + c)^{2} (\frac{1}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2}{ab + b c + c a}) \geq 9$
$\Leftrightarrow (a + b + c)^{2} . \frac{9}{( a + b + c ) ^{2}} \geq 9 (D P C M)$ $■$

Cách 2:
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$
Ta có: $B D T \Leftrightarrow \frac{1}{3} (\sum \frac{1}{a ^{2} + 1}) \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{ab + b c + c a}$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{3 a ^{2} + 3} - \frac{1}{3}) \leq \frac{- 5}{6} + \frac{1}{ab + b c + c a}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{- a ^{2}}{3 ( a ^{2} + 1 )} \leq \frac{- 5}{6} + \frac{1}{ab + b c + c a}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a ^{2}}{3 ( a ^{2} + 1 )} \geq \frac{5 ( ab + b c + c a ) - 6}{6 ( ab + b c + c a )}$
Áp dụng bất đẳng thức C-S
Ta có: $\sum \frac{a ^{2}}{3 ( a ^{2} + 1 )} \geq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{3 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + 3 )} = \frac{2 ( ab + b c + c a ) + 3}{18}$
Đặt $ab + b c + c a = x$
Cần CM: $\frac{2 x + 3}{18} \geq \frac{5 x - 6}{6 x} \Leftrightarrow (x - 3)^{2} \geq 0 (T R U E)$
Vậy BĐT được CM, dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ thỏa mãn ĐK ban đầu $■$

Inequality 6

Đề bài

Mô tả