Inequality 5

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$.
CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c-1)(\ast )$.
                                                                     Lời giải
Từ giả thiết $abc=1$, đặt $a=\frac{y}{x}$; $b=\frac{z}{y}$, $c=\frac{x}{z}$ (với $x,y,z>0$).
Ta có:  $(\ast )\iff \frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}+\frac{x^2}{yz}\ge \frac{3}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}-1\right)$
$\iff \frac{2(x^3+y^3+z^3)+3xyz}{xyz}\ge \frac{3(y^{2}z+z^{2}x+x^{2}y)}{xyz}$
$\iff 2(x^3+y^3+z^3)+3xyz\ge 3(y^{2}z+z^{2}x+x^{2}y)$ $(\ast \ast )$
Ta có các bất đẳng thức phụ sau:
+, Schur: $x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ (1)
+, $x^3+y^3+z^3+x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y\ge 2(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ (2)
$\iff x(x-y{)}^2+y(y-z{)}^2+z(z-x{)}^2\ge 0(TRUE)$
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) $\Rightarrow (\ast \ast )TRUE\Rightarrow (\ast )TRUE$
Dấu bằng xảy ra $\iff x=y=z\iff a=b=c=1$.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.