Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=3$. CMR: $\displaystyle{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2}$. Lời giải Ta có: $\displaystyle{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}}$ $=\displaystyle{\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{3}{xyz}}$. Cần CM: $\displaystyle{\frac{3}{xyz}\geq x^2+y^2+z^2}$ Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM Ta có: $xyz(x+y+z)\leq \displaystyle\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}$ $\Leftrightarrow \displaystyle{3xyz\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3}\Leftrightarrow xyz\leq \frac{(xy+yz+zx)^2}{9}}$ $\Leftrightarrow xyz(x^2+y^2+z^2)\leq \displaystyle{\frac{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)^2}{9}}$ (1) Lại có: $\displaystyle{\frac{(xy+yz+zx)(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)}{9}\leq \frac{[x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)]^3}{243}}$ $=\displaystyle{\frac{(x+y+z)^6}{243}=\frac{729}{243}=3}$ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow dpcm$ $\blacksquare$

Inequality 3

0 lượt xem 24/06/2026

Đề bài

Cho $x, y, z > 0$ thỏa $x + y + z = 3$ .
CMR: $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y ^{2}} + \frac{1}{z ^{2}} \geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
Lời giải

Ta có: $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y ^{2}} + \frac{1}{z ^{2}} \geq \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$
$= \frac{x + y + z}{x y z} = \frac{3}{x y z}$ .
Cần CM: $\frac{3}{x y z} \geq x^{2} + y^{2} + z^{2}$
Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM
Ta có: $x y z (x + y + z) \leq \frac{( x y + y z + z x ) ^{2}}{3}$
$\Leftrightarrow 3 x y z \leq \frac{( x y + y z + z x ) ^{2}}{3} \Leftrightarrow x y z \leq \frac{( x y + y z + z x ) ^{2}}{9}$
$\Leftrightarrow x y z (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \leq \frac{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ( x y + y z + z x ) ^{2}}{9}$ (1)
Lại có: $\frac{( x y + y z + z x ) ( x y + y z + z x ) ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} )}{9} \leq \frac{[ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + 2 ( x y + y z + z x ) ] ^{3}}{243}$
$= \frac{( x + y + z ) ^{6}}{243} = \frac{729}{243} = 3$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow d p c m$ $■$

Mô tả

Cho thỏa . CMR: . Lời giải Ta có: . Cần CM: Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM Ta có: (1) Lại có: (2) Từ […]

Bất đẳng thức

Nguồn: supermathtv