Cho $x, y, z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $x^2+2y^2+3z^2=6$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=xyz-2(x+y+z)$. Lời giải Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwraz$ ta có: \[P^2=[x(yz-2)-2(y+z)]^2 \le (x^2+2)[(yz-2)^2+2(y+z)^2]\] \[=\dfrac{1}{6}(x^2+2)(2y^2+4)(3z^2+6) \] \[\le \dfrac{1}{6}.(\dfrac{x^2+2y^2+3z^2+12}{3})^3=6^2\] \[\Rightarrow -6 \le P \le 6\] Vậy GTNN $P=-6$ khi $y=2x=-2;z=0$ GTLN $P=6$ khi $y=2x=2;z=0$

Inequality 24

Cho $x, y, z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 6$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P = x y z - 2 (x + y + z)$ .

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức $C a u c h y - S c h w r a z$ ta có:

$P^{2} = [x (y z - 2) - 2 (y + z)]^{2} \leq (x^{2} + 2) [(y z - 2)^{2} + 2 (y + z)^{2}]$

$= \frac{1}{6} (x^{2} + 2) (2 y^{2} + 4) (3 z^{2} + 6)$

$\leq \frac{1}{6} . (\frac{x ^{2} + 2 y ^{2} + 3 z ^{2} + 12}{3})^{3} = 6^{2}$

$\Rightarrow - 6 \leq P \leq 6$

Vậy GTNN $P = - 6$ khi $y = 2 x = - 2; z = 0$

GTLN $P = 6$ khi $y = 2 x = 2; z = 0$