Inequality 20

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left|z+4-3i\right|=1$. Tìm $z$ sao cho $\left|z^2+7-24i\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Đặt $z=a+bi$. Khi đó ta có $(a+4{)}^2+(b-3{)}^2=1$ và $P=\sqrt{(a-3{)}^2+(b-4{)}^2}.\sqrt{(a+3{)}^2+(b+4{)}^2}$

Đặt tiếp $a+4=\cos x;b-3=\sin x$
Ta sẽ tìm được:

$$P=\sqrt{4(7\cos 2x-24\sin 2x)-204(4\cos x-3\sin x)+2601}$$

Dự đoán $MinP=41$ khi $z=\frac{-16}{5}+\frac{12}{5}i$. Chỉ còn cách khảo sát hàm số là tìm được GTNN khi $\frac{\cos x}{4}=\frac{\sin x}{-3}$.
Cụ thể ta làm như sau:

$$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=4(7\cos 2x-24\sin 2x)-204(4\cos x-3\sin x)+2601\\ & f^{\prime }\left(x\right)=-8\left(7\sin 2x+24\cos 2x\right)+204\left(4\sin x+3\cos x\right)\\ & =-8\left(7\sin 2x+24\cos 2x\right)+204\left(4\sin x+3\cos x\right)\\ & =-4\left(4\sin x+3\cos x\right)\left(4\cos x-3\sin x\right)+204\left(4\sin x+3\cos x\right)\\ & =-4\left(4\sin x+3\cos x\right)\left(4\cos x-3\sin x-51\right)\\ & f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 4\sin x+3\cos x=0\end{array}$$

Bài này ta có thể tìm được giá trị lớn nhất: $MaxP=61$ khi $z=\frac{-24}{5}+\frac{18}{5}i$.