Inequality 2

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$.
CMR: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$$\ge 3(a^2+b^2+c^2)$.
                                                      Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz:
Ta có: $latex \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}= \frac{a^4}{a^{2}b}+\frac{b^4}{b^{2}c}+\frac{c^4}{c^{2}a}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$
Áp dụng BĐT AM-GM:
Ta có: $a^{2}b=a\sqrt{a}.b\sqrt{a}\le \frac{a^3+b^{2}a}{2}$ (1)
$b^{2}c=b\sqrt{b}.c\sqrt{b}\le \frac{b^3+c^{2}b}{2}$ (2)
$c^{2}a=c\sqrt{c}.a\sqrt{c}\le \frac{c^3+a^{2}c}{2}$ (3)
Cộng vế với vế (1),(2),(3)
Ta có: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\le \frac{a^3+b^3+c^3+a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2}{2}$
$=\frac{a^2(a+c)+b^2(b+a)+c^2(c+b)}{2}$
$=\frac{a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)}{2}$
$\iff a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\le \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
$\Rightarrow VT\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a^2+b^2+c^2}=3(a^2+b^2+c^2)$
Dấu bằng xảy ra $\Rightarrow VT\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a^2+b^2+c^2}=3(a^2+b^2+c^2)$
Vậy BĐT ban đầu được CM.