Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}\ge 4\] Lời giải Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có: \[\begin{aligned}\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}&=\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)+\left(\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2xy}{z}\right)+\left(\dfrac{3zx}{y}+\dfrac{3xy}{z}\right)\\& \ge 2z+4y+6x\\&=4(x+y)+2(x+z)\\&\ge 8\sqrt{xy}+4\sqrt{xz}\\&=4\end{aligned}\] Vậy bất đẳng thức đã được chưng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}\blacksquare$.

Inequality 18

Đề bài

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $2 x y + x z = 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{3 y z}{x} + \frac{4 z x}{y} + \frac{5 x y}{z} \geq 4$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $A M - GM$ , ta có:

$\frac{3 y z}{x} + \frac{4 z x}{y} + \frac{5 x y}{z} = (\frac{y z}{x} + \frac{z x}{y}) + (\frac{2 y z}{x} + \frac{2 x y}{z}) + (\frac{3 z x}{y} + \frac{3 x y}{z}) \geq 2 z + 4 y + 6 x = 4 (x + y) + 2 (x + z) \geq 8 x y + 4 x z = 4$

Vậy bất đẳng thức đã được chưng minh.

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \frac{1}{3} ■$ .

Mô tả

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức , ta có: Vậy bất đẳng thức đã được chưng minh. Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

Bất đẳng thức

Nguồn: phamtuankhai