Inequality 18

[Bài toán]: Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sqrt{\frac{a}{a+2b+3c}}+\sqrt{\frac{b}{b+2c+3a}}+\sqrt{\frac{c}{c+2a+3b}}\le \sqrt{\frac{3}{2}}$
                                                              Lời Giải
Áp dụng BĐT $CBS$:
$\left[\sum a(a+3b+2c)\right]\left[\sum \frac{1}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\right]\ge {\left[\sum \sqrt{\frac{a}{a+2b+3c}}\right]}^2(1)$
Ta phải CM: $V{T}_{(1)}\le \frac{3}{2}$ $\iff \sum _{cyc}\frac{\sum a^2+5\sum ab}{a^2+6b^2+6c^2+5ab+5ac+13bc}\le \frac{3}{2}$
$\iff \sum _{cyc}1-\frac{5b^2+5c^2+8bc}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\le \frac{3}{2}$ $\iff \sum _{cyc}\frac{9(b+c{)}^2+(b-c{)}^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\ge 3$
Áp dụng BĐT $CBS$, không mất tính tổng quát, giả sử $b\ge a\ge c$
Ta có: $\sum _{cyc}\frac{9(b+c{)}^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\ge \frac{36(a+b+c{)}^2}{13(a^2+b^2+c^2)+23(ab+bc+ca)}$
$\sum _{cyc}\frac{(b-c{)}^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\ge \frac{4(a-c{)}^2}{13(a^2+b^2+c^2)+23(ab+bc+ca)}$
$⟹$ Phải CM: $36(a^2+b^2+c^2)+72(ab+bc+ca)+4a^2-8ac+4c^2\ge 39(a^2+b^2+c^2)+69(ab+bc+ca)$
$\iff ab-7bc+ca+3b^2+3c^2-a^2\ge 0\iff (a-c)(b-a)+3(b-c{)}^2\ge 0$ (đúng theo giả thiết)
Kết luận: BĐT được CM, dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c$ $■$