Inequality 17

[Bài toán]: Cho $a,b,c,x,y,z>0$. CMR: $\sum \frac{bcx}{(x+y)(x+z)}\le \frac{(a+b+c{)}^2}{4(x+y+z)}$
                                                                     Lời Giải
Bất đẳng thức cần CM tương đương với:
$\sum \frac{bcx(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\le \frac{(a+b+c{)}^2}{4(x+y+z)}$
$\iff \sum 4bc(xy+zx)(x+y+z)\le (a+b+c{)}^2(x+y)(y+z)(z+x)$
$\iff \sum \left[4bcxy(x+y)+4bcxz(x+z)+8xyzbc\right]\le \sum \left[(a+b+c{)}^{2}xy(x+y)\right]+2xyz(a+b+c{)}^2$
$\iff \sum \{(x^{2}y+x{y}^2)\left[(a+b+c{)}^2-4bc-4ca\right]\}\ge 8xyz(ab+bc+ca)-2xyz(a+b+c{)}^2$
$\iff \sum (x^{2}y+x{y}^2)(a+b-c{)}^2\ge 2xyz(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)$
Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có:
$(a+b-c{)}^2{x}^{2}y+(b+c-a{)}^2{z}^{2}y\ge 2xyz(a+b-c)(b+c-a)$
Tương tự với các BĐT còn lại, cộng vào, ta có $Q.E.D$
Dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c,x=y=z$ $■$