Inequality 16

[Bài toán]: Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\ge \frac{a+b+c}{2}$
                                                               Lời giải
Nhân cả hai vế BĐT với $a^3+b^3+c^3$, ta được:
$\left(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\right)(a^3+b^3+c^3)\ge \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{2}$
$\iff a^4+b^4+c^4+\sum \frac{a^4{c}^3}{a^3+b^3}\ge \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{2}$
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy-Schwarz}$
$\sum \frac{a^4{c}^3}{a^3+b^3}=\sum \frac{a^4{c}^4}{c(a^3+b^3)}\ge \frac{(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2{)}^2}{\sum c(a^3+b^3)}$
Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$:
$\frac{(\sum a^2{b}^2{)}^2}{\sum c(a^3+b^3)}+\frac{1}{4}\left(\sum c(a^3+b^3)\right)\ge \sum a^2{b}^2$
$\iff \frac{(\sum a^2{b}^2{)}^2}{\sum c(a^3+b^3)}\ge \sum a^2{b}^2-\frac{1}{4}\left(\sum c(a^3+b^3)\right)$
Do đó, ta phải CM:
$\sum a^4+\sum a^2{b}^2-\frac{1}{4}\left(\sum c(a^3+b^3)\right)\ge \frac{(\sum a)(\sum a^3)}{2}$
$\iff 4\sum a^4+4\sum a^2{b}^2-\sum c(a^3+b^3)\ge 2\sum a^4+2\sum c(a^3+b^3)$
$\iff 2\sum a^4+4\sum a^2{b}^2\ge 3\sum c(a^3+b^3)=3\sum ab(a^2+b^2)$
Phải CM BĐT sau, các BĐT còn lại CM tương tự:
$a^4+b^4+4a^2{b}^2\ge 3ab(a^2+b^2)$
$\iff (a^2+b^2{)}^2-3ab(a^2+b^2)+2a^2{b}^2\ge 0$
$\iff (a-b{)}^2(a^2+b^2-ab)\ge 0(\text{True})$
Cộng các BĐT vừa thiết lập, ta có $Q.E.D$, dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c$ $■$