Inequality 14

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=(a^2+b^2+c^2)\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{(b-c{)}^2}+\frac{1}{(c-a{)}^2}\right]$$

Lời giải

Giả sử $c=\min \left\{a,b,c\right\}$. Ta có: $0<a-c\le a,0<b-c\le b$

Do đó:

$P$$\ge (a^2+b^2)\left[\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right]$$=\frac{a^2+b^2}{(a-b{)}^2}+(a^2+b^2)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$

Đặt $x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2$. Ta có:

$\frac{a^2+b^2}{(a-b{)}^2}$$=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}$$=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}$$=\frac{x}{x-2}$

$(a^2+b^2)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$$=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2$$={\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2$$=x^2$

Suy ra: $P\ge \frac{x}{x-2}+x^2$

Xét hàm số $f(x)=\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$

Ta có: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2{)}^2}$

Lập bảng biến thiên ta thấy $f(x)\ge f\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},c=0$ và các hoán vị $■$.