(Problem 6 – VMO 2014) [Bài toán]: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTLN của biểu thức: $T=\displaystyle{\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}}$ Lời Giải Đặt $\left ( \displaystyle{\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}} \right )=(a,b,c)$ Qua biến đổi đại số sơ cấp, ta có: $T=\sum \displaystyle{\frac{1}{(a^4+1)(b+c)^3}}$ Có các BĐT: $a^4+1\geq \displaystyle{\frac{(a^2+1)^2}{2}};(b+c)^3\geq 4bc(b^2+c^2)$ Áp dụng BĐT $CBS$: $(a^2+1)(b^2+c^2)\geq (ab+c)^2;(ac+b)^2$ Ta có: $T\leq \sum \displaystyle{\frac{1}{2(a^2+1)\sqrt{(a^2+1)(b^2+c^2)}^2}\leq \sum \frac{1}{2(a^2+1)bc(ac+b)(ab+c)}}$ $\leq \sum \displaystyle{\frac{1}{2(a^2+1)bc.\frac{b^2+1}{b}.\frac{c^2+1}{c}}\leq \sum \frac{1}{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \frac{3}{2.2a.2b.2c}=\frac{3}{16}}$ Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$ Vậy BĐT được CM $\blacksquare$

Inequality 14

(Problem 6 – VMO 2014)
[Bài toán]: Cho $a, b, c > 0$ . Tìm GTLN của biểu thức:
$T = \frac{x ^{3} y ^{4} z ^{3}}{( x ^{4} + y ^{4} ) ( x y + z ^{2} ) ^{3}} + \frac{y ^{3} z ^{4} x ^{3}}{( y ^{4} + z ^{4} ) ( y z + x ^{2} ) ^{3}} + \frac{z ^{3} x ^{4} y ^{3}}{( z ^{4} + x ^{4} ) ( z x + y ^{2} ) ^{3}}$
Lời Giải
Đặt $(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}) = (a, b, c)$
Qua biến đổi đại số sơ cấp, ta có: $T = \sum \frac{1}{( a ^{4} + 1 ) ( b + c ) ^{3}}$
Có các BĐT: $a^{4} + 1 \geq \frac{( a ^{2} + 1 ) ^{2}}{2}; (b + c)^{3} \geq 4 b c (b^{2} + c^{2})$
Áp dụng BĐT $C B S$ : $(a^{2} + 1) (b^{2} + c^{2}) \geq (ab + c)^{2}; (a c + b)^{2}$
Ta có: $T \leq \sum \frac{1}{2 ( a ^{2} + 1 ) ( a ^{2} + 1 ) ( b ^{2} + c ^{2} ) ^{2}} \leq \sum \frac{1}{2 ( a ^{2} + 1 ) b c ( a c + b ) ( ab + c )}$ $\leq \sum \frac{1}{2 ( a ^{2} + 1 ) b c . \frac{b ^{2} + 1}{b} . \frac{c ^{2} + 1}{c}} \leq \sum \frac{1}{2 ( a ^{2} + 1 ) ( b ^{2} + 1 ) ( c ^{2} + 1 )} \leq \frac{3}{2.2 a .2 b .2 c} = \frac{3}{16}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$
Vậy BĐT được CM $■$

Inequality 14

Đề bài

Mô tả