Inequality 12

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{\left(b+2\right)\left(b^2-b+2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(c+2\right)\left(c^2-c+2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(a^2-a+2\right)}}$$\ge \frac{3}{2}$

Lời giải

Theo bất đẳng thức $AM-GM$, ta có: $\sqrt{\left(b+2\right)\left(b^2-b+2\right)}\le \frac{b^2+4}{2}$

Ta cần chứng minh:

$$\frac{4a}{b^2+4}+\frac{4b}{c^2+4}+\frac{4c}{a^2+4}\ge 3$$

Cũng theo $AM-GM$, ta có: $\frac{4a}{b^2+4}=a-\frac{a{b}^2}{b^2+4}\ge a-\frac{a{b}^2}{4b}=a-\frac{1}{4}ab$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

$\frac{4a}{b^2+4}+\frac{4b}{c^2+4}+\frac{4c}{a^2+4}$$\ge a+b+c-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)$$\ge a+b+c-\frac{1}{12}(a+b+c{)}^2$$=3$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2■$.