Inequality 11

Cho ba số thực $x,y,z>1$ và thoả mãn điều kiện $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\ge \sqrt{3}-2$$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có :

$$\begin{array}{rl}\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}& =\frac{y-1+x-1}{x^2}+\frac{z-1+y-1}{y^2}+\frac{x-1+z-1}{z^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\\ & =\frac{x-1}{x^2}+\frac{x-1}{z^2}+\frac{y-1}{x^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{y^2}+\frac{z-1}{z^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\\ & \ge \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\\ & =\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\\ & \ge \sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-2\\ & =\sqrt{3}-2\end{array}$$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\sqrt{3}■$