Inequality 10

Cho 3 số thực $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a+3}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{b+3}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{c+3}{{\left(c+1\right)}^2}$$\ge 3$

Lời giải

Ta có

$\frac{a}{(a+1{)}^2}+\frac{b}{(b+1{)}^2}+\frac{c}{(c+1{)}^2}$$\ge 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1{)}^2(b+1{)}^2(c+1{)}^2}}$$=3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1{)}^2(b+1{)}^2(c+1{)}^2}}$

Do $abc=1$ nên $(a+1)(b+1)(c+1)\ge 8$.

$$3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1{)}^2(b+1{)}^2(c+1{)}^2}}\ge \frac{6}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

Ta cần chứng minh

$$\frac{3}{(a+1{)}^2}+\frac{3}{(b+1{)}^2}+\frac{3}{(c+1{)}^2}+\frac{6}{(a+1)(b+1)(c+1)}\ge 3$$

$\iff \frac{1}{(a+1{)}^2}+\frac{1}{(b+1{)}^2}+\frac{1}{(c+1{)}^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$\ge 1$

Đây là bài Inequality 05. Do đó bất đẳng thức đã được chứng minh$■$.

Nguồn onluyentoan.vn