Inequality 1

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=2$.
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a+b}{2}-ab}+\sqrt{\frac{b+c}{2}-bc}+\sqrt{\frac{c+a}{2}-ca}\ge \sqrt{2}$ $(\ast )$
                                                                                                               Lời Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh $\iff \sqrt{a+b-2ab}+\sqrt{b+c-2bc}+\sqrt{c+a-2ca}\ge 2$
Vì vai trò $a,b,c$ như nhau nên giả sử $a\ge b\ge c$, mà $a+b+c=2$$\Rightarrow c\le \frac{2}{3}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
$\sqrt{a+b-2ab}\ge \sqrt{2-c-\frac{(a+b{)}^2}{2}}=\sqrt{2-c-\frac{(2-c{)}^2}{2}}=\sqrt{c-\frac{c^2}{2}}$
Mặt khác, ta có:
$\sqrt{b+c-2bc}=\sqrt{2-a-2(2-a-c)c}=\sqrt{2-a-4c+2ac+2c^2}=\sqrt{2(c-1{)}^2+a(2c-1)}\ge \sqrt{2(c-1{)}^2+c(2c-1)}=\sqrt{4c^2-5c+2}$
Tương tự: $\sqrt{c+a-2ca}\ge \sqrt{4c^2-5c+2}$
Đặt $A=\sqrt{b+c-2bc}+\sqrt{c+a-2ca}$
Ta có: $A^2=c+a-2ca+b+c-2bc+2\sqrt{(b+c-2bc)(c+a-2ca)}\ge c+a-2ca+2-a-4c+2ac+2c^2+2(4c^2-5c+2)\ge 10c^2-13c+6\Rightarrow A=\sqrt{10c^2-13c+6}$
Cần chứng minh: $\sqrt{10c^2-13c+6}+\sqrt{c-\frac{c^2}{2}}\ge 2$
Nhưng BĐT trên luôn đúng sau khi biến đổi tương đương.
Vậy BĐT $(\ast )$ được chứng minh, dấu đẳng thức khi $a=b=c=\frac{2}{3}$