Inequality 09

Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$2\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\left(c^3+2\right)+27$$\ge 9{\left(ab+bc+ca\right)}^2$

Lời giải

Sử dụng $AM-GM$ ta có:

$$\begin{array}{rl}2\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\left(c^3+2\right)+27& =\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\left(c^3+2\right)+\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\left(c^3+2\right)+27\\ & \ge 9\sqrt[3]{{\left[\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\left(c^3+2\right)\right]}^2}\\ & =9\sqrt[3]{{\left[\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ca\right)\left(c^2+2ab\right)\right]}^2}\end{array}$$

Ta cần chứng minh $\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ca\right)\left(c^2+2ab\right)\ge {\left(ab+bc+ca\right)}^3$, thật vậy:
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$, ta có: $ab+ac+bc\le 2ab+c^2$
Ta cần chứng minh $\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ca\right)\ge {\left(ab+bc+ca\right)}^2\iff c{\left(a-b\right)}^2\left[2\left(a+b\right)-c\right]\ge 0$ (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1■$.