Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{a}{a^2+2}+\dfrac{b}{b^2+2}+\dfrac{c}{c^2+2} \le 1\] Lời giải Ta có: $2a\le a^2+1$ Ta cần chứng minh \[\dfrac{a}{2a+1}+\dfrac{b}{2b+1}+\dfrac{c}{2c+1} \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge 1\] Đặt $a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$. Bất đẳng thức trên trở thành \[\dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}\ge 1\] Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có: \[\begin{aligned}\dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}&=\dfrac{y^2}{y^2+2xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2yz}+\dfrac{x^2}{x^2+2zx}\\&\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\\&=1\end{aligned}\] Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1\blacksquare$.

Inequality 08

0 lượt xem 24/06/2026

Đề bài

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $ab c = 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a ^{2} + 2} + \frac{b}{b ^{2} + 2} + \frac{c}{c ^{2} + 2} \leq 1$

Lời giải

Ta có: $2 a \leq a^{2} + 1$

Ta cần chứng minh

$\frac{a}{2 a + 1} + \frac{b}{2 b + 1} + \frac{c}{2 c + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2 a + 1} + \frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{2 c + 1} \geq 1$

Đặt $a = \frac{x}{y}; b = \frac{y}{z}; c = \frac{z}{x}$ . Bất đẳng thức trên trở thành

$\frac{y}{2 x + y} + \frac{z}{2 y + z} + \frac{x}{2 z + x} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức $C a u c h y - S c h w a r z$ , ta có:

$\frac{y}{2 x + y} + \frac{z}{2 y + z} + \frac{x}{2 z + x} = \frac{y ^{2}}{y ^{2} + 2 x y} + \frac{z ^{2}}{z ^{2} + 2 y z} + \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 2 z x} \geq \frac{( x + y + z ) ^{2}}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x} = 1$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1 ■$ .

Mô tả

Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: Ta cần chứng minh Đặt . Bất đẳng thức trên trở thành Áp dụng bất đẳng thức , ta có: Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

Bất đẳng thức

Nguồn: phamtuankhai