Inequality 06

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge 1$$

Lời giải

Đặt $a=\frac{yz}{x^2},b=\frac{zx}{y^2},c=\frac{xy}{z^2}$ với $x,y,z>0$.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{x^4}{y^2{z}^2+x^{2}yz+x^4}+\frac{y^4}{z^2{x}^2+y^{2}zx+y^4}+\frac{z^4}{x^2{y}^2+z^{2}xy+z^4}\ge 1$$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

 $$\begin{array}{rl}\frac{x^4}{y^2{z}^2+x^{2}yz+x^4}+\frac{y^4}{z^2{x}^2+y^{2}zx+y^4}+\frac{z^4}{x^2{y}^2+z^{2}xy+z^4}& \ge \frac{(x^2+y^2+z^2{)}^2}{x^4+y^4+z^4+x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2+xyz(x+y+z)}\\ & \ge \frac{(x^2+y^2+z^2{)}^2}{x^4+y^4+z^4+2x^2{y}^2+2y^2{z}^2+2z^2{x}^2}\\ & =1\end{array}$$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1■$ .