Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\ge 1\] Lời giải Giả sử trong ba số $a,b,c$ có $a,b$ sao cho $(a-1)(b-1) \ge 0$ Thế thì ta có $ab+1 \ge a+b$ thay vào ta có \[\begin{aligned}&\frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c + 1)}^2}}} + \frac{2}{{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}}\\& \ge \frac{2}{{(a + 1)(b + 1)}} + \frac{1}{{{{(c + 1)}^2}}} + \frac{2}{{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}} \\&\ge\frac{1}{{ab + 1}} + \frac{1}{{{{(c + 1)}^2}}} + \frac{1}{{(ab + 1)(c + 1)}}\\& = \frac{c}{{c + 1}} + \frac{1}{{{{(c + 1)}^2}}} + \frac{c}{{{{(c + 1)}^2}}} \\&= 1\end{aligned}\] Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1\blacksquare$. Bài toán phụ: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}\ge \dfrac{1}{1+ab}$ Bất đẳng thức trên được chứng minh dễ dàng bằng cách biến đổi thành: $ab(a-b)^2+(ab-1)^2 \ge 0$ (đúng) Nguồn boxmath.vn

Inequality 05

0 lượt xem 24/06/2026

Đề bài

Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn $ab c = 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}} + \frac{2}{( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 )} \geq 1$

Lời giải

Giả sử trong ba số $a, b, c$ có $a, b$ sao cho $(a - 1) (b - 1) \geq 0$
Thế thì ta có $ab + 1 \geq a + b$ thay vào ta có

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}} + \frac{2}{( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 )} \geq \frac{2}{( a + 1 ) ( b + 1 )} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}} + \frac{2}{( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 )} \geq \frac{1}{ab + 1} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( ab + 1 ) ( c + 1 )} = \frac{c}{c + 1} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}} + \frac{c}{( c + 1 ) ^{2}} = 1$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a = b = c = 1 ■$ .

Bài toán phụ: Cho $a, b, c > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{( 1 + a ) ^{2}} + \frac{1}{( 1 + b ) ^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$

Bất đẳng thức trên được chứng minh dễ dàng bằng cách biến đổi thành: $ab (a - b)^{2} + (ab - 1)^{2} \geq 0$ (đúng)

Nguồn boxmath.vn

Mô tả

Cho thoả mãn . Chứng minh rằng: Lời giải Giả sử trong ba số có sao cho Thế thì ta có thay vào ta có Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu xảy ra khi . Bài toán phụ: Cho . Chứng minh rằng Bất đẳng thức trên được chứng minh dễ dàng […]

Bất đẳng thức

Nguồn: phamtuankhai